Bài học hay

https://baihochay.com

Học tốt Toán 7, Phần hình học, chương II, Bài 5. Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác GÓC - CẠNH - GÓC (G.C.G)

Hệ thống kiến thức lí thuyết cần nhớ, hướng dẫn giải bài tập SGK Toán 7, Bài 5. Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác GÓC - CẠNH - GÓC (G.C.G)

A. Tóm tắt kiến thức
1. Trường họp bằng nhau góc - cạnh - góc
Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

  ABC =  A'B'C’(g.c.g)
2. Trường họp bằng nhau cạnh huyền - góc nhọn của tam giác vuông
Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

  => ABC = DEF (cạnh huyền - góc nhọn)

B. Ví dụ giải toán
Ví dụ. Cho  ABC =  DEF. Gọi AI và DK lần lượt là tia phân giác góc A và góc D (I  BC; K  EF). Chứng minh rằng AI = DK.
Giải. ABC
DEF => Â =  , mà Â1 = Â2 =  (giả thiết),
 =  =    (giả thiết) nên Â1 =

Xét ABI và DEKcó: Â1 = ; AB = DE;  = Ê.
Nên ABI = DEK (g.c.g). Suy ra AI = DK.
Nhận xét. Nếu có hai tam giác bằng nhau, ta nên suy ra các yếu tố tương ứng bằng nhau. Khi chứng minh hai tam giác bằng nhau, nhất thiết phải có ít nhất một cặp cạnh bằng nhau.

C. Hướng dẫn giải bài tạp trong sách giáo khoa
Bài 33. (Bạn đọc tự vẽ hình)
-Vẽ đoạn thẳng AC = 2cm.
-Trên cùng một nửa mặt phảng bờ AC vẽ các tia Ax và Cy sao cho  = 90°,  = 60° , chúng cắt nhau tại B.

Bài 34. a) ABC = ABD(g.c.g).
b)  = =>  = ,
ABD = ACE(g.c.g),
ADC = AEB(g.c.g).

Bài 35. a) AOH và BOH có:
 =  (giả thiết);
OH cạnh chung;
 =  = 90° (giả thiết). Nên  AOH = BOH (g.c.g).
Suy ra OA = OB.

b) AOC và BOC có:
OA = OB (chứng minh trên);  =  (giả thiết); oc cạnh chung.
Nên AOC= BOC(c.g.c).
Suy ra CA = CB (cạnh tương ứng),  =  (góc tương ứng).

Bài 36. OACvà OBDcó:
 =  (giả thiết), OA = OB (giả thiết), ô là góc chung.
Do đó OAC = OBD (g.c.g), suy ra AC = BD.

Bài 37. Hình 101 (SGK). Ta tính được Ê = 40°, ABC = FDE(g.c.g).
Hình 102 (SGK). GHI không bằng MLK mặc dù có một cặp cạnh bằng nhau và hai cặp góc bằng nhau (hai cặp góc bằng nhau không kề với cặp cạnh bằng nhau).
Hình 103 (SGK)
Ta tính được  =  = 80°, NQR = RPN (g.c.g).

Bài 38. Nối AD. Xét ADB và DACcó:
Â1=  (so le trong, AB // CD);
AD: cạnh chung;
 = Â2 (so le trong, AC // BD).
Do đó ADB = DAC(g.c.g)
suy ra: AB = CD, BD = AC.
Chú ý. Từ bài toán trên, ta suy ra: Nếu hai đoạn thẳng song song bị chắn giữa hai đường thẳng song song thì chúng bằng nhau.



Bài 39. Hình 105 (SGK). AHB = AHC(c.g.c).
Hình 106 (SGK). DKE = DKF(g.c.g).
Hình 107 (SGK). ABD = ACD (cạnh huyền - góc nhọn).
Hình 108 (SGK). ABD = ACD (cạnh huyền - góc nhọn).
 => AB = AC, DB = DC.
 DBE =  DCH (g.c.g)
 ABH =  ACE (chẳng hạn g.c.g).

Bài 40. Hai tam giác vuông BME, CMF có:
BM = MC (giả thiết);
 =  (đối đỉnh).
Do đó  BME =  CMF (cạnh huyền - Suy ra BE = CF.

Bài 41. BID = BIE (cạnh huyền - góc nhọn)
=> ID = IE .
CIE = CIF (cạnh huyền - góc nhọn)
 => IE = IF .
Vậy ID = IE = IF.


Bài 42. Các tam giác AHC và BAC có: AC cạnh chung; c là góc chung;
 = (= 90°), nhưng hai tam giác AHC và BAC không bằng nhaủ vì góc AHC không phải là góc kề với cạnh AC.

Bài 43. OAD = OCB(c.g.c)
=> AD = BC .
OAD = OCB (câu a)
 =>  = , Â1 =
Do đó Â2 =  .
Dễ thấy AB = CD.
Suy ra EAB = ECD(g.c.g).
EAB = ECD (câu b)
=> EA = EC.
OAE = OCE(c.c.c)
=> =  => OE là tia phân giác của góc xOy.


Bài 44. ABD và ACD có  = , Â1= Â2
Nên  Vậy ABD = ACD (g.c.g).
ABD = ACD (câu a) suy ra AB = AC.
Nhận xét. Từ bài toán trên, ta suy ra: "Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó có hai cạnh bằng nhau".


Bài 45. a) ∆ AHB = CKD(c.g.c)  => AB = CD,
CEB = AFD(c.g.c) => BC = AD .
ABD = CDB(c.c.c) =>  =
=> AB // CD (có hai góc so le trong bằng nhau).


D. Bài tập luyện thêm
1. Cho AB // CD, AD // BC. Chứng minh AB = CD; AD = BC.
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh: OA = OC, OB = OD.

2. Cho  ABC có A = 60° . Tia phân giác góc B và góc c cắt cạnh AC, AB tại D, E và cắt nhau tại o. Chứng minh rằng OD = OE.

3. Cho  ABC có AB = AC. Kẻ BD AC, CE AB. Gọi H là giao điểm BD và CE. Chứng minh:
a)  ABD = A ACE.      b)  BEH =  CDH.

4. Cho  ABC vuông tại A có AB = AC. Lấy M thuộc BC (BM > MC ). Kẻ BD và CE vuông góc với đường thẳng AM. Chứng minh rằng:
a)  ABD =  CAE.       b) BD - CE = DE.

Lời giải - Hướng dẫn - Đáp số
Xét  ABC và CDA có:
Â1 =  (so le trong); AC là cạnh chung;  = Â2 (so le trong).
Do đó  ∆ ABC =  ∆ CDA (g.c.g) => AB = CD, AD = BC.
Xét  ABO và  CDO có:
Â1 =  (so le trong);
AB = CD (chứng minh trên);
 =  (so le trong).
Do đó  AOB =  COD (g.c.g). Suy ra AO = CO; BO = DO
ABC có Â +  +  = 180°
mà Â = 60° nên  +  = 120°.
Ta có =  60°.
BOC có  +   =180°
nên  = 120°,  =60°.
Kẻ Ox là tia phân giác của góc  thì   =   = 60°.
Gọi I là giao của tia Ox với BC. Xét  BEO và  BIO có:
 =   (giả thiết);   =   (= 60°); BO là cạnh chung.
Do đó  BEO = BIO (g.c.g). Suy ra OE = OI.
Chứng minh tương tự ta có  COD =  COI nên OD = OI.
Vậy OE = OD (= OI).

Nhận xét
- Để chứng minh OE = OD, ta chưa thể ghép chúng vào hai tam giác nào bằng nhau được. Do vậy ta nghĩ đến cách kẻ đường phụ. Cho số đo góc A, ta liên hệ với bài đã biết nên tính được số đo góc BOC và góc BOE nên dựng được điểm I.
- Bài toán còn có cách khác là lấy điểm I trên BC sao cho BI = BE, sau đó chứng minh  BOE =  BOI rồi chứng minh  COD =  COI.
- Từ cách trên ta còn suy ra một kết quả đẹp là BE + CD = BC.

3. a) Xét ADBvà AECcó:
ADB = AEC = 90°; AB = AC (giả thiết); Â chung.
Do đó  ABD =  ACE (cạnh huyền - góc nhọn),
b)  ADB =  AEC nên AE = AD,
mà AB = AC (giả thiết) nên BE = CD.
Xét  BEH và CDH có:
 =  = 90°; BE = CD;  =  (cùng phụ với  ).
Do đó  BEH = CDH (g.c.g).


4. a) Xét ABD và  CAE có:
BDA = AEC = 90°;
AB = AC (giả thiết);
 = Â1  (cùng phụ với Â2 ).
Do đó ABD = CAE (cạnh huyền - góc nhọn),
b)  ABD =  CAE nên BD = AE, AD = CE.
Do đó BD - CE = AE - AD. Vậy BD - CE = DE.

Nhận xét. Để chứng minh một đoạn thẳng tổng hay một hiệu hai đoạn thẳng, ta thường biến đổi ba đoạn thẳng đó bằng ba đoạn cùng nằm trên một đường thẳng và sử dụng cộng, trừ đoạn thẳng.
 