Bài học hay

https://baihochay.com

Giải sách bài tập Toán 8 - Hình vuông

Hướng dẫn giải chi tiết bài tập trong sách bài tập Toán 8, tập 1, Phần II. Hình học, Chương I. Tứ giác. §12. Hình vuông

A. Giải bài tập
144. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Gọi M, N là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AB, AC. Chứng minh rằng tứ giác AMDN là hình vuông.


Giải: Xét tứ giác AMDN:
 = lV (gt)
DM  AB (gt)

=>  = 1V
DN  AC (gt)
=>   = lV
Suy ra : Tứ giác AMDN là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông), có đường chéo AD là đường phân giác của Â.
Vậy : Hình chữ nhật AMDN là hình vuông.

145. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy thứ tự các điểm E, K, P, Q sao cho AE = BK = CP = DQ. Tứ giác EK.PQ là hình gì? Vì sao?


Giải:
AB = BC = CD = DA (gt)
AE = BK = CP = DQ (gt)
Suy ra : EB = KC = PD = QA
Xét  AEQ và  BKE :
AE = BK (gt)
 =  = 90°
QA = EB (chứng minh trên)
Do đó :  AEQ =  BKE (c.g.c) => EQ = EK (1)
Xét  BKE và  CPK :
EB = KC (chứng minh trên)
Do đó :  BKE =  CPK (c.g.c) => EK = KP (2)
Xét  CPK và  DOP :
CP = DQ (gt)
 =  = 90°
DP = CK (chứng minh trên)
Do đó :  CPK =  DQP (c.g.c) => KP = PQ (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra : EK = KP = PQ = EQ
Tứ giác EK.PQ là hình thoi.
Mặt khác:  AEQ =  BKE
=>  =
 + = 90°
=>  + = 90°
 + +  = 180° (kề bù)
Suy ra :  = 180° - ( + )= 180° - 90° = 90°
Vậy : Tứ giác EKPQ là hình vuông

146. Cho tam giác ABC, điểm I nằm giữa B và C. Qua I vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AC ở H. Qua I vẽ đường thẳng song song với AC, cắt AB ở K.
a/ Tứ giác AHIK là hình gì?
b/ Điểm I ở vị trí nào trên BC thì tứ giác AHIK là hình thoi.
c/ Tam giác ABC cần có điều kiện gì thì tứ giác AHIK là hình chữ nhật.


Giải: a/ Ta có: IK // AC (gt)
hay IK//AH
IH // AB (gt)
hay IH // AK
Vậy : Tứ giác AHIK. là hình bình hành (theo định nghĩa)

b/ Hình bình hành AHIK là hình thoi nên đường chéo AI là phân giác của Â.
Ngược lại AI là phân giác của Â. Hình bình hành AHIK có đường chéo là phân giác của một góc nên hình bình hành AHIK là hình thoi.
Vậy nếu I là giao điểm của đường phân giác của  với cạnh BC thì tứ giác AHIK là hình thoi.

c/ Hình bình hành AHỈK là hình chữ nhật => Â = 90°
suy ra  ABC vuông tại A Ngược lại  ABC có Â = 90°
Suy ra : Hình bình hành AHIK là hình chữ nhật.
Vậy nếu ABC vuông tại A thì tứ giác AHIK là hình chữ nhật

147. Hình chữ nhật ABCD có AB = 2 AD. Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB. CD. Gọi H là giao điểm của AQ và DP, gọi K là giao điểm của CP và BQ. Chứng minh rằng PHQK là hình vuông.


Giải: Xét tứ giác APQD ta có :
AB // CD (gt) hay AP // QD
AP = AB (gt)
QD =  CD(gt)
Suy ra : AP = QD
nên tứ giác APQD là hình bình hành.
 = 90°
Suy ra : Tứ giác APQD là hình chữ nhật
AD = AP =  AB
Vậy : Tứ giác APQD là hình vuông
=> AQ  PD (tính chất hình vuông) =>  = 90°(l)
HP = HQ (tính chất hình vuông)
- Xét tứ giác PBCQ ta có :
PB // CD
PB = AB (gt)
CQ =  CD (gt)
Suy ra : PB = CQ nên tứ giác PBCQ là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
 = 90° suy ra tứ giác PBCQ là hỉnh chữ nhật
PB = BC (vì cùng bằng AD =  AB)
Vậy : Tứ giác PBCQ là hình vuông
=> PC  BQ (tính chất hình vuông) =>  = 90°(2)
PD là tia phân giác  (tính chất hình vuông)
PC là tia phân giác ( (tính chất hình vuông)
Suy ra : PD  PC (tính chất hai góc kề bù) =>  = 90° (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra tứ giác PHQK là hình vuông.

148. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh BC lấy các điểm H, G sao cho BH = HG = GC. Qua H và G kẻ các đường vuông góc với BC chúng cắt AB, AC theo thứ tự ở E và F. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

Giải:   ABC vuông cân tại A. =>  =  = 45°
 BHE vuông tại H có  = 45°
=>  BHE vuông cân tại H nên HB = HE
 CGF vuông tại G có  = 45°
=>  CGF vuông cân tại G nên GC = GF
Ta có : BH = HG = GC (gt)
Suy ra : HE = HG = GF
EH // GF (hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba)
Nên tứ giác HEFG là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song bằng nhau)
 = 90° do đó HEFG là hình chữ nhật
EH = HG (chứng minh trên)
Vậy HEFG là hình vuông

149. Cho hình vuông ABCD.Trên cạnh AD lấy điểm F.trên cạnh DC lấy điểm E sao cho AF = DE.Chứng minh rằng AE = BF và AE  BF


Giải: Xét  ABF và  DAE :
AB = DA (gt)
 =  = 90°
AF = DE (gt)
Do đó :  ABF =  DAE (c.g.c)
=> BF = AE
  = Â1
Gọi H là giao điểm của AE và BF
 = Â1 + Â2 = 90°
Suy ra : + Â2 = 90°
Trong  ABH ta có :
 +  + Â2 = 180°
=>  = 180°- (+ Â2 )= 180° - 900 = 900
Vậy AE  BF

150. Cho hình chữ nhật có hai cạnh kề không hằng nhau. Chứng minh rằng các tia phân giác của các góc của hình chữ nhật đó cắt nhau tạo thành một hình vuông.


Giải: Gọi giao điểm các đường phân giác của các góc : Â, , , D theo thứ tự cắt nhau tại E, H, F, G.
Trong  ADG ta có :  = 45° ; GDA
=>  GAD vuông cân tại G. =>  = 90° và GD = GA
=>  =  = 90°
Trong A BHC ta có :
HBC = 45° ; HCB = 45° (gt)
=>  HBC vuông cân tại H
=>  = 90° và HB = HC
Trong  FDC ta có :  = 45° ; = 45° (gt)
=>  FDC vuông cân tại F =>  = 90° và FD = FC
nên tứ giác EHFG là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông)
Xét  GAD và  HBC :  =  = 45°
AD = BC (tính chất hình chữ nhật)
 =  = 45°
Do đó :  GAD =  HBC (g.c.g)  => GD = HC
FD = FC (chứng minh trên)
Suy ra : FG = FH
Vậy hình vuông EHFG có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình vuông.

151. Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm nằm giữa c và D. Tia phân giác của góc DAE cắt CD ở F. Kẻ FH  AE (H   AE), FH cắt BC ở G. Tính số đo góc FAG.

Giải: Xét hai tam giác vuông DAF và HAF:
 =   = 90°
Â12 (gt)
AF cạnh huyền chung
Do đó :  DAF =  HAF (cạnh huyền, góc nhọn)
=> DA = HA
DA = AB (gt)
Suy ra : HA = AB
Xét hai tam giác vuông HAG và BAG :
=  = 90°
HA = BA (chứng minh trên)
AG cạnh huyền chung
Do đó :  HAG =  BAG (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
=> Â3 = Â4 nên AG là tia phân giác của
2 + Â3 =  ( + ) =  . 90° = 45°

152. Chọ hình vuông DEBC. Trên cạnh DC lấy điểm A, trên tia đối của tia DC lấy điểm K, trên tia đổi của tia ED lấy điểm M sao cho CA = DK = EM. Vẽ hình vuông DK.IH (H thuộc cạnh DE). Chứng minh rằng ABMI là hình vuông.


Giải: Xét  CAB và  EMB :
CA = EM (gt)
 = Ê = 90°
CB = EB (tính chất hình vuông)
Do đó :  CAB -  EMB (c.g.c)
=>AB = MB (1)
AK = DK + DA
CD = CA +AD
mà CA = DK nên AK = CD
Xét  CAB và  KIA:
CA = KI (vì cùng bằng DK)
 = . = 90°
CB = AK (vì cùng bằng CD)
Do đó :  CAB =  KIA (c.g.c)
=> AB = AI (2)
DH = DK (vì KDHI là hình vuông)
EM = DK (gt)
=> DH + HE = HE + EM
hay DE = HM
Xét  HIM và  EMB :
HI = EM (vì cùng bằng DK)
 = Ê = 90°
HM = EB (vì cùng bằng DE)
Do đó :  HIM =  EMB (c.g.c)
=> IM = MB (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra : AB = BM = AI = IM
Tứ giác ABMI là hình thoi.
Mặt khác, ta có  ACB =  MEB (chứng minh trên)
=>  =
 +  =  = 90°
Suy ra :  +  = 90° hay  = 90°
Vậy : Tứ giác ABMI là hình vuông.

153. Cho tam giác ABC. Vẽ ở ngoài tam giác các hình vuông ABDE, ACFH.
a/ Chứng minh rằng EC = BH, EC  BH
b/ Gọi M, N theo thứ tự là tâm của các hình vuông ABDE, ACFH. Gọi I là trung điểm của BC. Tam giác MIN là tam giác gì? Vì sao?


Giải: a/ Ta có:  =  +  =  + 90°
EAC = BAC + BAE = BAC + 90°
Suy ra :  =
BA = EA (vì ABDE là hình vuông)
 =  (chứng minh trên)
AH = AC (vì ACFH là hình vuông)
Do đó :  BAH =  EAC (c.g.c)
=> BH = EC
Gọi giao điểm của EC với AB và
BH lần lượt là K và O.
 =  (vì  BAH =  EAC) (1)
hay  =
- Trong  AEK ta có :  = 90°
=>  +  = 90° (2)
=  (đối đỉnh) (3)
Từ (1) và (2) suy ra :  +  = 90°
- Trong  BOK ta có :  +  + = 180°
=>  = 180° - ( + )= 180° - 90° = 90°
Suy ra : EC  BH

b/ Trong A EBC ta có :
M là trung điểm EB (tính chất hình vuông)
I trung điểm BC (gt)
nên MI là đường trung binh của  EBC
=> MI =  EC và MI // EC (tính chất đường trung bình của tam giác)
- Trong  BCH ta có :
I trung điểm BC (gt)
N trung điểm của CH (tính chất hình vuông)
nên NI là đường trung bình của  BCH
=> NI =  BH và NI // BH (tính chất đường trung bình của tam giác)
BH = CE (chứng minh trên)
Suy ra : MI = NI nên INM cân tại I
MI // EC (chứng minh trên)
EC  BH (chứng minh trên)
Suy ra : MI  BH
NI // BH (chứng minh trên)
Suy ra : MI   NI hay  =90°
Vậy  IMN vuông cân tại I.


154. Cho hình vuông ABCD. điểm E thuộc cạnh CD. Tia phân giác của góc ABE cắt CD ở K. Chứng minh rằng AK + CE = BE.


Giải: Trên tia đối tia CD lấy điểm M sao cho CM = AK
Ta có : AK + CE = CM + CE = EM (*)
Xét  ABK và  CBM:
AB = CB (gt)
 =  = 90°
AK = CM (theo cách vẽ)
Do đó :  ABK =  C'BM (c.g.c)
=>  =  (1)
= 90° -  (2)
Trong tam giác CBM vuông tại C.
 = 90° -
Từ (1), (2) và (3) suy ra:  =  (4)
 =  +  =  (gt);
 =  (chứng minh trên)
Suy ra :  =  =>  +  =  +  
hay  =  (5)
Từ (4) và (5) suy ra :  =
=>  EBM cân tại E  => EM = BE (**)
Từ (*) và (**) suy ra : AK + CE = BE

155. Cho hình vuông ABCD. Gọi E. F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC.
a/ Chứng minh rang CE vuông góc với DF
b/ Gọi M lả giao điểm của CE và DF. Chứng minh rằng AM = AD.


Giải:
a/Xét  BEC và  CFD :
BE = CF (gt)
 =  = 90°
BC = CD (gt)
Do đó  BEC =  CFD (c.g.c)
=>  =  
 +  = 90°
Suy ra : +  = 90°
Trong  DCM có D +  = 90°
Suy ra :  = 90°. Vậy CE  DF

b/ Gọi K là trung điểm của DC, AK cắt DF tại N.
Xét tứ giác AKCE ta có:
AB // CD hay AE // CK
AE =  AB (gt)
CK =  CD (theo cách vẽ)
Suy ra : AE // CK nên tứ giác AKCE là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
=> AK // CE
DF  CE (chứng minh trên)
=> AK  DF hay AN  DM
Trong  DMC ta có: DK = KC
KN // CM
nên DN = MN (tính chất đường trung bình của tam giác)
Suy ra :  ADM cân tại A (vì có đường cao vừa là trung tuyến)
=> AD = AM

156. Cho hình vuông ABCD. Vẽ điểm E trong hình vuông sao cho  =  = 15°.
a/ Vẽ điểm F trong hình vuông sao cho  =  = 15°.
Chứng minh rằng tam giác DEF là tam giác đều.
b/ Chứng minh rằng tam giác ABE là tam giác đều.


Giải:
a/ Xét  EDC và  FDA :
 =  = 15°
DC = AD (gt)
 =  = 15°
Do đó :  EDC =  FDA (g.c.g)
=> DE = DF
=>  DEF cân tại D
Ta lại có:  =  +  +
=>  =  - ( + ) = 90°- (15° + 15°) = 60°
Vậy  DEF đều.

b/ Xét  ADE và  BCE : ED = EC (vì EDC cân tại E)


 =  = 75°
AD = BC (gt)
Do đó :  ADE -  BCE (c.g.c)
=> AE = BE (l)
Trong  AFD ta có :
 = 180° - ( + )= 180° - (15°+ 15°)= 150°
 +  +  = 360°
=>  = 360°- ( + ) = 360° - (150° + 60°) = 150°
Xét  AFD và  AEF :
AF cạnh chung
 =  = 150°
DF = EF (vì  DFE đều)
Do đó :  AFD =  AEF (c.g.c) => AE = AD
AD = AB (gt)
Suy ra : AE = AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra : AE = AB:

B. Giải bài tập bổ sung
12.1 Hình vuông có chu vi bằng 8 thì đường chéo bằng :
(A) 2;
(B) ;
(C)  
(D).
Hãy chọn phương án đúng.
Giải: Chọn (C) -  Đúng

12.2 Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Các tia phân giác của bốn góc vuông có đỉnh O cắt các cạnh AB, BC, CD, DA theo thứ tự ở E, F, G, H. Tứ giác EFGH là hình gì?
Giải: Ta có:  và  đối đỉnh nên E, O, G thẳng hàng
 và  đối đinh nên F, O, H thẳng hàng
Xét  BEO và  BFO :
 =  (tính chất hình thoi)
OB cạnh chung
 =  = 45° (gt)
Do đó :  BEO =  BFO (g.c.g)
=> OE = OF(I)
Xét  BEO và  DGO :
 =  (so le trong)
OB = OD (tính chất hình thoi)
 =  (đối đỉnh)
Do đó :  BEO =  DGO (g.c.g)
=> OE = OG (2)
Xét  AEO và  AHO :
 =  (tính chất hỉnh thoi)
OA cạnh chung
 =  = 45° (gt)
Do đó :  AEO =  AHO (g.c.g)
=> OE = OH (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra : OE = OF - OG = OH hay EG = FH
nên tứ giác EFGH là hình chữ nhật (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và bằng nhau)
OE  OF (tính chất hai góc kề bù)
hay EG FH
Vậy hình chữ nhật EFGH là hình vuông.

12.3. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh CD .lấy điểm E, trên cạnh BC lẩy điểm
F sao cho DE = CF. Chứng minh rằng AE = DF và AE  DF.

Giải: Xét  ADE và  DCF :
AD = DC (gt)
 =  = 90°
DE = CF (gt)
Do đó :  ADE =  DCF
=> AE = DF;
 =
 +  = 90° (vì  ADE vuông tại A)
=>  +  = 90°
Gọi I là giao điểm của AE và DF.
Suy ra :  + = 90°
Trong  DEI ta có :  = 180°- ( + )= 180° - 90° = 90°
Suy ra : AE  DF
Bạn đã không sử dụng Site, Bấm vào đây để duy trì trạng thái đăng nhập. Thời gian chờ: 60 giây