Bài học hay

https://baihochay.com

Học tốt Toán 7, Phần hình học, chương II, Bài 7: Định lý Py –Ta-Go

Hệ thống kiến thức lí thuyết cần nhớ, hướng dẫn giải bài tập SGK Toán 7, Bài 7: Định lý Py –Ta-Go
A. Tóm tắt kiến thức
1. Định lí Py- ta- go
Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.
 ABC vuông tại A => BC2 = AB2  + AC2
2. Định lí Py- ta- go đảo
Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.
ABC : BC2 = AB2 + AC2 =>  = 90° .
h1

B. Ví dụ giải toán

Ví dụ. Cho  ABC vuông tại A. Lấy D là trung điểm của AB. Từ D hạ DE vuông góc xuống BC. Chứng minh: EC2- EB2 = AC2
 
Giải. Vận dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông ta có:
EC2 = DC2 – DE2, BE2 = BD2 – DE2 .
Suy ra EC2 – BE2 = (DC2 – DE2) - (BD2 – DE2)
=> EC2 – EB2 = DC2 – BD2    
=> EC2 – EB2 = DC2 – AD2 (vì BD = AD)
=> EC2 – EB2 = AC2.
h2
Nhận xét. Để chứng minh đẳng thức chỉ chứa các bình phương độ dài đoạn thẳng, chúng ta sử dụng định lí Py-ta-go vào các tam giác vuông, chú ý tạo ra vế trái, rồi biến đổi đại số tạo ra vế phải.

C. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa

Bài 53. a)x2 = 52 +122 = 25+144 = 169 = 132. Vậy x =13.
b) x2  = 12 + 22 =1 + 4 = 5. Vậy x =
c) x2 = 292 -212 = 841 - 441 = 400 = 202. Vậy x = 20.
d) x2 =()2 + 32 = 7 + 9 = 16 = 42. Vậy x = 4.
Nhận xét. Trong tam giác vuông, nếu biết độ dài hai cạnh, ta luôn tính được độ dài cạnh còn lại bằng cách vận dụng định lí Py-ta-go.

Bài 54. Theo định lí Py-ta-go, ta có: AB2 + BC2 = AC2 nên
AB2 = AC2 - BC2 = 8,52 - 7,52 = 16. Vậy AB = 4 (m).

Bài 55. Đặt chiều cao bức tường là x. Theo định lí Py-ta-go, ta có:
x2 +12 = 42 nên x2 = 15 => x =   3,87(m).

Bài 56. a) 92 = 81; 152 = 225; 122 =144. Ta thấy 225 = 81 + 144 nên tam giác có ba cạnh 9cm; 15cm; 12cm là tam giác vuông.

b) 52 =25; 132 = 169; 122 = 144. Ta thấy 169 = 25 + 144 nên tam giác có ba cạnh 5cm; 13cm; 12cm là tam giác vuông.

c) 72 =49; 102 = 100. Ta thấy 100 49 + 49 nên tam giác có ba cạnh bằng 7, 7, 10 không là tam giác vuông.

Nhận xét:
- Qua bài ta nhận thấy, để chứng minh một tam giác vuông có thể vận dụng định lí Py-ta-go đảo.
- Để biết tam giác có vuông hay không, ta phải so sánh tổng bình phương độ dài hai cạnh nhỏ với bình phương độ dài cạnh lớn nhất.

Bài 57. Lời giải trên là sai. Sửa lại như sau:
AB2 + BC2 = 82 + 152 = 64 + 225 = 289; AC2 = 172 = 289.
Ta thấy AB2 + BC2 = AC2 nên tam giác ABC vuông tại B.
Nhận xét. Bạn Tâm sai ớ chỗ không so sánh bình phương của cạnh lớn nhất với tổng bình phương cua hai cạnh còn lại.

Bài 58. Gọi d là đường chéo của tủ, h là chiều cao của nhà. Ta thấy:
d2 =202+42 = 416 => d =  ; h2 = 212 = 441 => h = .
Suy ra d < h. Như vậy, khi anh Nam đẩy tủ cho thẳng đứng, tủ không bị vướng vào trần nhà.

Bài 59. Theo định lí Py-ta-go: AC2 = AD2 + CD2
=>AC2 = 482 + 362 = 3600 => AC = 60 cm.
 
Bài 60. AHC vuông tại H nên theo định lí Py-ta-go
AC2 = AH2 + HC2 = 122 + 162 = 144 + 256 = 400 = 202 .
Do đó AC = 20cm.
AHB vuông tại H nên:
BH2 =AB2 – AH2 = 132 -122 =169 - 144 = 25 = 52
Vậy BH = 5cm.
Suy ra BC = BH + HC - 5 + 16 = 21 (cm).
h3

Bài 61. AB2 = 22 + 12 = 5 => AB =  ;
BC2 = 32 +52 = 34 => BC = ;
CA2 = 32+42 = 25 => CA = 5.

Bài 62. OA2 = 32 + 42 = 25 => OA = 5 < 9.
OC2 = 62 + 82 = 100 => OC = 10 > 9.
OD2 = 32 +82 = 73 => OD =  < 9.
OB2 = 42 + 62 = 52 =>  < 9 .
Như vậy, con Cún có thế tới các vị trí A, B, D, nhưng không tới được vị trí C.

D. Bài tập luyện thêm

1. Cho ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của AC.
Chứng minh: BM2 = BC2 - AC2.

2. Cho ABC có góc B và góc C nhọn. Kẻ AH vuông góc với BC. Biết AB = 20cm, BH = 16 cm, HC = 5cm. Tính AH, AC.

3. Cho ABC cân tại A có  < 90o. Kẻ BH vuông góc với AC.
Chứng minh rằng AB2 + AC2 + BC2 = 3BH2 + 2AH2 + CH2 .

4. Cho ABC vuông cân tại đỉnh A. Qua A kẻ đường thẳng xy bất kì không cắt đoạn thẳng BC. Kẻ BM và CN vuông góc với xy. Chứng minh:
a) ACN = BAM.
b) CN + BM = MN.
c) BM2 + CN2 không phụ thuộc vào vị trí xy.
d) Tìm điều kiện xy để A là trung điểm MN.

Lời giải - Hướng dẫn - Đáp số
 
1. Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:
BM2 = AB2 +AM2
 => BM2 = BC2 – AC2 + AM2 => BM2 = BC2 – AC2 +
hay BM2 = BC2- AC2.
h4
 
2. ABH có H = 90o , theo định lí Py-ta-go ta có:
AH2 + BH2 = AB2 => AH2 +162 = 202
=> AH2 = 144 =>AH = 12 (cm).
AHC có H = 90o , theo định lí Py-ta-go, ta có:
AC2 =AH2 + HC2 => AC2 = 122 +52
=> AC2 = 169 => AC= 13 (cm).
h5
 
3. Áp dụng định lí Py-ta-go cho các tam giác vuông ABH, BCH ta có:
AB2 = BH2+AH2   (1)
BC2 = BH2+CH2   (2)
AC2 = BH2 + AH2 (vì AB = AC ) (3).
Cộng từng vế (1), (2), (3), ta có:
AB2 + AC2 + BC2 = 3BH2 + 2AH2 + CH2 .
h6
 
4. a) Ta có  +   = 90o;   +   = 90o nên   = B.
BAM và ACN có
 =  (=90o);  = ; AB = AC.
Nên BAM = ACN (cạnh huyền - góc nhọn).
h7

b) BAM = ACN nên BM = AN, AM = CN,
suy ra: BM + CN = AN + AM = MN.
Áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác vuông BAM, ta có:
BM2 + AM2 = AB2 hay BM2 + CN2 = AB2.
Suy ra BM2 + CN2 không phụ thuộc vào vị trí xy.

d) BAM = ACN nên BM = AN, AM = CN.
Ta có AM = AN AN = CN , hay ACN vuông cân tại N, hay
 =45o <=> xy//BC.

Nhận xét
- Để chứng minh một biểu thức hình học không phụ thuộc vào vị trí của yếu tố hình học nào đó, ta biến đổi chứng tỏ biểu thức đó bằng kết quả chỉ chứa yếu tố cố định.
- Để tìm điều kiện hình học thoả mãn yêu cầu nào đó, ta coi yêu cầu đó là giả thiết từ đó suy ra điều kiện cần tìm.
- Nếu gọi I là trung điểm của BC ta còn có một kết quả đẹp: IMN vuông cân.
Bạn đã không sử dụng Site, Bấm vào đây để duy trì trạng thái đăng nhập. Thời gian chờ: 60 giây