Giải sách bài tập Toán 8 - Đối xứng trục

Thứ sáu - 18/10/2019 13:00

Hướng dẫn giải chi tiết bài tập trong sách bài tập Toán 8, tập 1, Phần II. Hình học, Chương I. Tứ giác. §6. Đối xứng trục

A. Giải bài tập
60. Cho tam giác ABC có Â = 70°, điểm M thuộc cạnh BC. Về điểm D đối xứng với M qua AB, vẽ điểm E đối xứng với M qua AC.
a/ Chứng minh rằng AD = AE
b/ Tính số đo góc

.

Giải: a/ Vì D đối xứng với M qua trục AB
=> AB là đường trung trực của MD.
=> AD = AM (tính chất đường trung trực) (l)
=> Vì E đối xứng với M qua trục AC
=> AC là đường trung trực của ME.
=> AM = AE (tính chất đường trung trực) (2)
=> Từ (1) và (2) suy ra: AD = AE

b/ AD = AM suy ra

AMD cân tại A có AB

MD nên AB cũng là đường phân giác của

=> Â₁= Â₂
AM = AE suy ra

AME cân tại A có AC

ME nên AC cũng là đường phân giác của

=> Â₃ = Â₄

= Â₁ + Â₂ + Â₃ + Â₄ = 2 (Â₂ + Â₃) = 2

= 2.70° = 140°

61. Cho tam giác nhọn ABC có Â = 60°, trực tâm H. Gọi M là điểm đối xứng với H qua BC.
a/ Chứng minh

BHC =

BMC
b/ Tính góc

.

Giải: a/ Vì M đối xứng với H qua trục BC
=> BC là đường trung trực của HM
=> BH = BM (tính chất đường trung trực) CH = CM (tính chất đường trung trực)
Suy ra :

BHC =

BMC (c.c.c)

b/ Gọi giao điểm BH với AC là D. giao điểm của CH và AB là E
H là trực tâm của

ABC
=>BD

AC, CE

AB
Xét tứ giác ADHE ta có :

= 360° - (Â +

+ Ê) = 360° - (60° + 90° + 90°) = 120°

=

(đối đỉnh)

BHC =

BMC (chứng minh trên)
=>

=

Suy ra : =>

=

= 120°

62. Cho hình thang vuông ABCD (Â =

= 90°). Gọi H là điểm đối xứng với B qua AD, I là giao điểm của CH và AD. Chứng minh rằng

=

Giải: B và H đối xứng qua AD.
I và A đối xứng với chính nó qua AD
Nên

đối xứng với

qua AD =>

=

(đối đỉnh)
Suy ra :

=

63. Cho hai điểm A,B thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy (AB không vuông góc với xy). Gọi A’ là điếm đối xứng với A qua xy, C là giao điểm của A'B và xy. Gọi M là điểm bất kì khác c thuộc đường thẳng xy. Chứng minh rằng: AC + CB < AM + MB

Giải: Vì A' đối xứng với A qua xy
=> xy là đường trung trực của AA'
=> CA' = CA (tính chất đường trung trực)
MA = MA' (tính chất đường trung trực)
AC + CB = A'C + CB = A'B
MA + MB = MA'+MB
Trong

MA'B ta có:
A'B < A'M + MB (bất đẳng thức h9iai com tam giác) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: AC + CB < AM + MB

64. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Trên cạnh AB lấy điểm I, trên cạnh AC lấy điểm K sao cho AI = AK. Chứng minh rằng điểm 1 đối xứng với điểm K qua AH.

Giải:

ABC cân tại A
AH

BC (gt)
Suy ra: AH là tia phân giác của Â
AI = AK (gt)
=>

AIK cân tại A
AH là tia phân giác của Â
nên AH là đường trung trực của IK
Vậy I đối xứng với K qua AH.

65. Tứ giác ABCD có AB = BC, AD = DC (hình cái diều).
Chứng minh rằng điểm A đối xứng với điểm c qua đường thẳng BD.

Giải: Ta có: BA = BC (gt)
Suy ra B thuộc đường trung trực của AC
DC = DA (gt)
Suy ra D thuộc đường trung trực của AC
mà B # D nên BD là đường trung trực của AC do đó A đối xứng với C qua trục BD.

66. Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi d là đường trung trực của BC. Vẽ điểm K đối xứng với điểm A qua đường thẳng d.
a/ Tìm các đoạn thẳng đối xứng với đoạn thẳng AB qua d, đối xứng với đoạn thẳng AC qua d.
b/ Tứ giác AKCB là hình gì? Vì sao?

Giải: a/ d là đường trung trực của BC nên B và c đối xứng qua d
K đối xứng với A qua d
nên đoạn thẳng đối xứng với đoạn AB qua d là đoạn KC.
Đoạn thẳng đối xứng với đoạn AC qua d là đoạn KB.

b/ d là đường trung trực của BC (gt) => d

BC
A và K đối xứng qua d nên d là trung trực của AK => d

AK
Suy ra: BC // AK. Tứ giác ABCK. là hình thang
AC và KB đối xứng qua d nên AC = BK.
Vậy hình thang ABCK là hình thang cân.

67. Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên đường phân giác của góc ngoài đinh c (M khác C). Chứng minh rằng AC + CB < AM + MB

Giải: Trên tia đối tia CB lấy điểm E sao cho CE = CA. Nối MA, ME nên

ACE cân tại C có CM là đường phân giác nên CM là đường trung trực (tính chất tam giác cân)
=> MA = ME (tính chất đường trung trực)
Ta có: AB + BC = BC + CE = BE (1)
MA + MB = MB + ME (2)
Trong

MBE ta có : BE < MB + ME (bất đẳng thức tam giác) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra : AB + BC < MA + MB

68. Trong các hình nét đậm vẽ trên giấy kẻ ô vuông ở hình 4, hình 5, hình nào có trục đổi xứng.

Hình 4 là hình có trục đối xứng

69. Học sinh tự vẽ hình
70. Điền dấu “X” vào ô thích hợp

Câu khẳng định	Đúng	Sai
a/ Tam giác có một trục đối xứng là tam giác cân	x
b/ Tứ giác có một trục đối xứng là hình thang cân		x

71. Chứng minh rằng giao điểm hai đường chéo hình thang cân nằm trên trục đối xứng của hình thang cân.

Giải: Hình thang cân ABCD có AB // CD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD
Xét

AD = BC (tính chất hình thang cân)
AC = BD (tính chất hình thang cân)
CD cạnh chung
Do đó

ADC =

BCD (c.c.c)
=>

OCD cân tại O
=> OC = OD nên O nằm trên đường trung trực của CD.
Trục đối xứng hình thang cân là đường thẳng trung trực của hai đáy.
Vậy O thuộc trục đối xứng của hình thang cân.

72. Cho góc nhọn xOy, điểm A nằm trong góc đó. Dựng điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất.

Giải: Cách dựng:
- Dựng điểm D đối xứng với A qua Ox.
- Dựng điểm E đối xứng với A qua Oy.
- Nối DE cắt Ox tại B, Oy tại C.
Tam giác ABC là tam giác có chu vi nhỏ nhất.
Vì

< 90° nên DE luôn cắt Ox và Oy do đó

ABC luôn dựng được.

Chứng minh:
Chu vi

ABC bằng AB + BC + AC
Vì D đối xứng với A qua Ox nên Ox là trung trực của AD
=> AB = BD (tính chất đường trung trực)
E đối xứng với A qua Oy nên Oy là trung trực của AE
=> AC = CE (tính chất đường trung trực)
Suy ra: AB + BC + AC = BD + BC + CE = DE (1)
Lấy B' bất kỳ trên Ox, C' bất kỳ trên tia Oy. Nối C'E, C'A, B'A, B'D.
Ta có: B'A = B'D (tính chất đường trung trực)
CA = CE (tính chất đường trung trực)
Chu vi

AB'C' bằng AB' + AC' + B'C' = B'D + B'C' + C'E (2)
Vì DE < B'D + B'C' + CE (dấu bằng xảy ra khi B’ trùng B, C' trùng C)
nên chu vi của

ABC < chu vi của

A'B'C'
Vậy

ABC có chu vi bé nhất.

B. Giải bài tập bổ sung
6.1. Hãy nổi mỗi ô ở cột bên trái với một ô ở cột bên phải để được một khoảng định đúng.

1/ Trục đối xứng của tam giác ABC (AB = AC) là	A/ Đường trung trực của AB
2/ Trục đối xứng của hình thang cân ADBC(AB //CD) là	B/ Đường trung trực của BC
	Đường trung trực của AC

Nối 1) với B)
Nối 2) với A)

6.2. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D, trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng D đối xứng với E qua AM.