Giải sách bài tập Toán 8 - Diện tích hình thang

Thứ sáu - 25/10/2019 11:13
Hướng dẫn giải chi tiết bài tập trong sách bài tập Toán 8, tập 1, Phần II. Hình học, Chương II. Đa giác – diện tích đa giác. §4. Diện tích hình thang

A. Giải bài tập
32. Tính x, biết đa giác ở hình vẽ có diện tích bằng 3375 m2


Giải: Hình đa giác đã cho gồm một hình thang và một hình tam giác.
Diện tích phần hình thang là S1, tam giác là S2
S1 =  = 1800 (m2)
S2 = S – S1 = 3375 - 1800 = 1575 (m2)
Chiều cao h của tam giác là:
H =  =  = 45 (m)
Độ dài x = 45 + 30 = 75 (m)

33. Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = 5cm, BC = 3cm. Vẽ hình bình hành ABEF có cạnh AB = 5cm và diện tích bằng diện tích hình chữ nhật. Vẽ được bao nhiêu hình như vậy? 


Giải: Trên cạnh CD ta lấy 1 điểm E bất kỳ (E khác C và D). Nối BE. Từ A kẻ đường thẳng song song với BE cắt đường thẳng CD tại F. Ta có hình bình hành ABEF có cạnh AB và có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật.
Thật vậy: SABCD = AB . AD
SABEF - AB . AD => SABCD - SABEF
Ta vẽ được vô số hình như vậy

34. Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = 5cm, BC = 3cm. Vẽ hình bình hành ABEF có cạnh AB = 5cm, BE = 5cm và có diện tích bằng diện tích của hình chữ nhật ABCD. Vẽ được mấy hình như vậy?


Giải: Vẽ cung tròn tâm B bán kính 5 cm cắt Đường thẳng CD tại 2 điểm E và E’ (vì ta có BA > BC).
Nối BE, từ A kẻ đường thẳng song song với BE cắt đường thẳng CD tại F.
Nối BE’, từ A kẻ đường thẳng song song với BE’ cắt đường thẳng CD tại F’.
Ta có hình bình hành ABEF và hình bình hành ABE’F’ có cạnh AB = 5 cm,
BE = 5 cm, BE’ = 5 cm có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật ABCD. Vẽ được hai hình.  

35. Tính diện tích của hình thang vuông, biết hai đáy có độ dài là 2cm, 4cm, góc tạo bởi một cạnh bên và đáy lớn có số đo bằng 45°


Giải: Xét hình thang vuông ABCD có Â =  = 90°;  = 45°
Kẻ BE  CD
Trong tam giác vuông BEC có BEC = 90°
 = 45° =>  BEC vuông cân tại E
=> BE = EC
Hình thang ABED có hai cạnh bên AD // BE
(vì cùng vuông góc với DC)
=> DE = AB = 2 cm
EC = DC - DE = 4 - 2 = 2 (cm) => BE = 2 cm
SABCD -  . BE (AB + CD) = . 2 . (2 + 4) = 6 (cm2)

36. Tính diện tích hình thang, biết các đáy có độ dài là 7cm và 9cm, một trong các cạnh bên dài 8cm và tạo với đáy một góc có số đo bằng 30°


Giải: Xét hình thang ABCD có đáy AB = 7 cm và CD = 9 cm, cạnh bên BC = 8 cm,  = 30°
Kẻ BE  CD. Tam giác vuông CBE có Ê = 90° 
 = 30° => CBE = 60° nên nửa tam giác đều có cạnh là CB.
=> BE =  CB = 4 (cm)
SABCD =  BE =  = 32 (cm )

37. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua trung điểm của đường trung bình của hình thang và cắt hai đáy hình thang sẽ chia hình thang đó thành hai hình thang có diện tích bằng nhau


Giải: Giả sử hình thang ABCD có AB // CD, đường trung bình là MN. Gọi I là trung điểm của MN. đường thẳng bất kỳ đi qua I cắt AB tại p và CD tại Q.
Ta có hai hình thang APQD và BPQC có chung dường cao.
Mỉ là đường trung bình của hình thang APQD.
=>MI = (AP + QD)
IN là đường trung bình của hình thang BPQC:
IN =  (BP + QC)
SAPQD =  (AP + QD). AH = MI . AH (1)
SBPQC = 12  (BP + QC). AH = IN . AH (2)
IM = IN (gt)
Từ (1), (2) và (gt) suy ra : SAPOD = SBPQC không phụ thuộc vào P và Q.

38. Diện tích hình bình hành bằng 24cm2. Khoảng cách từ giao điểm hai đường chéo đến các cạnh hình bình hành bằng 2cm và 3cm. Tính chu vi của hình bình hành.


Giải: Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD, khoảng cách từ O đến cạnh AB là OH = 2 cm. đến cạnh BC là OK = 3 cm.
Kéo dài OH cắt cạnh CD tại H'.
OH  AB => OH'  CD và OH' = 2 cm
nên HH’ bằng đường cao của hình bình hành.
SABCD = HH'. AB
=> AB  = 6 (cm)
Kéo dài OK cắt AD tại K'.
OK  BC => OK'  AD và OK' = 3 (em) nên KK’ là đường cao của hình bình hành. 
SABCD = KK’. BC => BC =  =   = 4 (cm)
Chu vi của hình bình hành ABCD là (6 + 4). 2 = 20 (cm)

39. Một hình chữ nhật có các kích thước a và b. Một hình binh hành cũng có hai cạnh là a và b. Tính góc nhọn của hình binh hành nếu diện tích của nó bằng một nữa diện tích hình chữ nhật, (a và b có cùng đơn vị đo)
                       

Giải:
Xét hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB = a, chiều rộng AD = b.
=> SABCD = ab
Hình bình hành MNPQ có góc M là góc tù, MN = a, cạnh MQ = b
Kẻ đường cao MH
SMNPQ= MH. a
Theo bài ra ta có: MH.a =  a.b
=> MH =  b hay MH =
Cạnh đối diện góc nhọn bằng một nửa cạnh huyền nên MQH  = 300
huyền nên MQH = 30°
Vậy góc nhọn của hình bình hành bằng 30°.

40. Hai cạnh của một hình bình hành có độ dài là 6cm và 8cm. Một trong các đường cao có độ dài là 5cm. Tính độ dài đường cao thứ hai. Hỏi bài toán có mấy đáp số.


Giải: Giả sử hình bình hành ABCD có AB = 8 cm, AD = 6 cm. Kẻ AH  CD, AK  BC
5 < 6 ; 5 < 8
Đường cao là cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền thỏa mãn có hai trường hợp:
a/ Nếu AK = 5 cm
SABCD = AK . BC = 5.6 = 30 (cm2)
SABCD = AH . AD = 8 . AH
=> 8 . AH = 30 => AH =  =  (cm)

b/ Nếu AH = 5 cm
SABCD = AH . CD = 5.8 = 40 (cm2)
SABCD = AK . BC = 6 . AK
=> 6 . AK = 40 => AK =  =  (cm)
Vậy đường cao thứ hai có độ dài là  cm hoặc  cm.

41. Một hình chữ nhật và một hình bình hành có hai cạnh là a và b. Hỏi hình nào có diện tích lớn hơn. (a và b có cùng đơn vị đo)

Giải: Hình chữ nhật có hai cạnh là a và b nên Schữ nhật= ab.
Hình bình hành có hai cạnh là a và b. Kẻ đường cao ứng với cạnh bằng a thì h < b (vì cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền).
Nếu kẻ đường cao ứng với cạnh bằng b thì h’ < a (cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền). Diện tích cúa hình bình hành là:
Shình bình hành = a . h = b . h’ mà h < b và h < a nên Sbình hành < Schữ nhật

B. Giải bài tập bổ sung
4.1 Tính diện tích hình được cho trong mỗi trường hợp sau:
a/ Hình thang ABCD. đáy lớn AB = l0cm. đáy nhỏ CD = 6cm và đường cao DE = 5cm.
b/ Hình thang cân ABCD. đáy nhỏ CD = 6cm. đường cao DH = 4cm, cạnh bên AD = 5cm.


Giải: a/ Áp dụng công thức tính diện tích hình thang.
S =  =  = 40 (cm2)

b/ Xét hình thang cân ABCD có AB // CD
Đáy nhỏ CD = 6 cm, cạnh bên AD = 5 cm
Đường cao DH = 4 cm. Kẻ CK  AB
Ta có tứ giác CDHK là hình chữ nhật
HK = CD = 6 cm
 AHD vuông tại H. Theo định lý Pi-ta-go ta có: AD2 = AH2 + DH2
=> AH2 = AD2 – DH2 = 52 – 42 = 25 – 16 = 9 => AH = 3 cm
Xét hai tam giác vuông DHA và CKB:  =  = 90°
AD = BC (tính chất hình thang cân)
 =  (gt)
Do đó DHA =  CKB (cạnh huyền, góc nhọn)
=> KB = AH = 3 (cm)
AB = AH + HK = 3 + 6 + 3 = 12 (cm)
SABCD =  =  = 36 (cm2)

4.2 Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD và đáy lớn AB.
a/ Hãy vẽ tam giác ADE mà diện tích của nó bằng diện tích hình thang đã cho.
b/ Hãy chia hình thang đã cho thành hai phần có diện tích bằng nhau bằng một đường thẳng đi qua đỉnh D. 

Giải:
a/ Gọi F là trung điểm cạnh bên BC. cắt hình thang theo đường DF đưa ghép về như hình vẽ bên. điểm C trùng với điểm B, D trùng với E.

Vì AB // CD => ABC + C = 180° => A, B, E thẳng hàng
ABC + DFC = 180° => D, F, E thẳng hàng
 DFC =  EFB (g.c.g)
SDFC = SEFB
Suy ra : SABCD = SADE
DFC =  EFB => DC = BE AE = AB + BE = AB + DC
SADE =  DH . AE =  DH . (AB + CD)
Vậy SABCD = DH  (AB + CD)

b/ Dựa trên hình vẽ câu a ta chọn điểm K là trung điểm AE.
Ta nối DK cắt hình thang theo đường DK ta có hai phần có diện tích bằng nhau:
Một phần là  ADK có AK =
Một phần là hình thang BCDK có hai đáy CD + BK =
Và có chiều cao bằng nhau nên có diện tích bằng nhau.

4.3 Cho hình bình hành ABCD có diện tích S. Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho BM = MN =  BC.
a/ Tính diện tích của tứ giác ABMD theo S.
b/ Từ điểm N kẻ NT // AB. Tính diện tích của tứ giác ABNT


Giải:
a/   DMC có CM =  BC
Hình bình hành ABCD và  DMC có chung đường cao kẻ từ đỉnh D đến BC.
Gọi độ dài đường cao là h. BC = a.
Ta có diện tích hình bình hành ABCD là: S = a h
SCMC =  h .
SABMD = SABCD – SDMC = S -

b/ SABC = SABCD
CN =   BC, NT // AB
Theo tính chất đường thẳng song song cách đều => CT = AC
 ABC và  BTC có chung chiều cao kẻ từ đỉnh B, đáy CT =  AC
=> SBTC  SABC  =
CN =   BC, NT // AB
CN =   BC, NT // AB
 BTC và TNC có chung chiều cao kẻ từ đỉnh T, cạnh đáy CN =  CB
=> STNC = SBTC  =  =
=> SABNT = SABC – STNC   =  =  -  =

 


 

Tổng số điểm của bài viết là: 5 trong 1 đánh giá

Xếp hạng: 5 - 1 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật   
Bạn đã không sử dụng Site, Bấm vào đây để duy trì trạng thái đăng nhập. Thời gian chờ: 60 giây