Giải sách bài tập Toán 8 - Đối xứng tâm

Thứ bảy - 19/10/2019 12:09

Hướng dẫn giải chi tiết bài tập trong sách bài tập Toán 8, tập 1, Phần II. Hình học, Chương I. Tứ giác. §8. Đối xứng tâm

A. Giải bài tập
92. Cho hình vẽ trong đó ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng điểm M đối xứng với điểm N qua điểm C.

Giải: Tứ giác ABCD là hình bình hành
=> AB // CD hay BM // CD
Xét tứ giác BMCD ta có :
BM // CD
BM = CD (gt)
Suy ra : Tứ giác BMCD là hình bình hành
(vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
=> MC//BD và MC = BD (1)
AD//BC (gt) hay DN//BC
Xét tứ giác BCND ta có: DN // BC
DN = BC (vì cùng bằng AD)
Suy ra : Tứ giác BCND là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
=> CN // BD và CN = BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra : M, C, N thẳng hàng và MC = CN
Vậy M và N đối xứng qua tâm C.

93. Cho hình vẽ trong đó DE // AB,DF //AC. Chứng minh rằng điểm E đối xứng với
điểm F qua điểm I

Giải: DE // AB (gt) hay DE // AF
DF // AC (gt)
hay DF // AE
Tứ giác AEDF là hình bình hành.
I là trung điểm của AD nên EF đi qua trung điểm I à IE = IF (tính chất hình bỉnh hành)
Vậy E và F đối xứng qua tâm I.

94. Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BM, CN. Gọi D là điểm đối xứng với B qua M, gọi E là điểm đối xứng với C qua N. Chứng minh rằng điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A.

Giải: Xét tứ giác ABCD ta có :
MA = MC (gt)
MB = MD (định nghĩa đối xứng tâm)
Suy ra: Tứ giác ABCD là hình bình hành
(vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)
=> AD // BC và AD = BC (1)
Xét tứ giác ACBE:
AN = NB (gt)
NC = NE (định nghĩa đối xứng tâm)
Suy ra: Tứ giác ACBE là hỉnh binh hành (vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) => AE // BC và AE = BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra : A, D, E thẳng hàng và AD = AE
nên A là trung điểm của DE hay điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A.

95. Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh BC. Gọi E là điểm đối xứng với D qua AB, gọi F là điểm đối xứng với D qua AC. Chứng minh rằng các điểm E và F đối xứng với nhau qua điểm A.

Giải: Vì E đối xứng với D qua AB
=> AB là đường trung trực của đoạn thẳng DE
=> AD = AE (tính chất đường trung trực)

nên

ADE cân tại A
Suy ra : AB là đường phân giác của

=> Â₁ = Â₂
Vì F đối xứng với D qua AC
=> AC là đường trung trực của đoạn thẳng DF
=> AD = AF (tính chất đường trung trực)
nên

ADF cân tại A
Suy ra : AC là đường phân giác của DAF
=> Â₃ = Â₄

=

+

= Â₂ + Â₁ + Â₃ + Â₄ = 2 (Â₁ + Â₃) = 2 . 90° = 180°
=> E, A, F thẳng hàng có AE = AF = AD
nên A là trung điểm của EF hay điểm E đối xứng với điểm F qua điểm A.

96. Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Một đường thẳng đi qua O cắt các cạnh đổi AD, BC ở E, F. Chứng minh E và F đối xứng với nhau qua điểm O.

Giải: Xét

OED và

OFB:

=

(đối đỉnh)
OD = OB (tính chất hình bình hành)

=

(so le trong)
Do đó :

OED =

OFB (g.c.g)
=> OE = OF
nên O là trung điểm của EF hay điểm E đối xứng với điểm F qua điểm O.

97. Cho hình bên, trong đó ABCD là hình bình hành. Chứng minh H và K đối xứng với nhau qua điểm O

Giải: Xét hai tam giác vuông AHO và CKO:

=

= 90°
OA = OC (tính chất hình bình hành)

=

(đối đỉnh)
Do đó:

AHO =

CKO (cạnh huyền, góc nhọn)
=> OH = OK
nên O là trung điểm của HK hay điểm H đối xứng với điểm K qua điểm O.

98. Cho tam giác ABC, D là trung điểm cua AB, E là trung điểm của AC. Gọi O là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác ABC. Vẽ điểm M đối xứng với O qua D, Vẽ điểm N đối xứng với O qua E. Chứng minh rằng MNCB lả hình bình hành.

Giải: Xét tứ giác AOBM:
DA = DB (gt)
DO = DM (định nghĩa đối xứng tâm)
Suy ra: Tứ giác AOBM là hình bỉnh hành (vì có hai đường chéo cẳt nhau tại trung điểm của mỗi đường)
=> BM // AO và BM = AO (I)
Xét tứ giác AOCN:
EA = EC (gt)
EO = EN (định nghĩa đối xứng tâm)
Suy ra: Tứ giác AOCN là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)
=> CN // AO và CN = AO (2)
Từ (1) và (2) suy ra : BM // CN và BM = CN
Vậy: Tứ giác BMNC là hình bình hành (vì có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

99. Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại G. Gọi H là điểm đổi xứng với G qua D, I là điểm đối xứng với G qua E, K là điểm đối xứng với G qua F. Tìm các điểm đối xứng với A, với B, với C qua G.

Giải: Ta có: GD = DH (tính chất đối xứng tâm)
=>GH = 2GD (1)
GA = 2 GD (tính chất đường trung tuyến của tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: GA = GH
nên điểm đổi xứng với điểm A qua tâm G là điểm H
GE = EI (tính chất đổi xứng tâm)
=>GI = 2GE (3)
GB = 2 GE (tính chất đưởng trung tuyến của tam giác) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: GB = GI
nên điểm đối xứng với điểm B qua tâm G là điểm I
GF = FK (tính chất đối xứng tâm)
=> GK = 2GF (5)
GC = 2GF (tính chất đương trung tuyến của tam giác) (6)
Từ (5) và (6) suy ra: GC = GK
Nên điểm đối xứng với điểm C qua tâm G là điểm K

100. Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng cắt hai cạnh AB, CD ở E, F. Qua O vẽ đường thẳng cắt hai cạnh AD, BC ở G, H. Chứng minh rằng EGFH là hình bình hành

Giải: Xét

OAC và

OCF:
OA = OC (tính chất hình bình hành)

=

(đối đỉnh)

=

(so le trong)
Do đó:

OAE =

OCF (g.c.g)
=> OE = OF (1)
Xét

OAG và

OCH:
OA = OC (tính chất hình bình hành)

=

(đối đỉnh)

=

(so le trong)
Do đó:

OAG =

OCH (g.c.g)
=> OG = OH (2)
Từ (1) và (2) suy ra: Tứ giác EGFH là hình bình hành vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

101. Cho góc xOy, điểm A nằm trong góc đó. Vẽ điểm B đối xứng với A qua Ox, vẽ điểm C đối xứng với A qua Oy.
a/ Chứng minh rằng OB = OC
b/ Tính số đo góc xOy để đối xứng với A qua O

Giải: a/ Vì B đối xứng với A qua trục Ox nên Ox là đường trung trực của đoạn AB.
=> OA = OB (tính chất đường trung trực) (1)
Vì C đối xứng với A qua trục Oy nên Oy là đường trung trực của đoạn AC.
=> OA = OB (tính chất đường trung trực (2)
Từ (1) và (2) suy ra OB = OC.

b/ Ta có OB = OC do đó điểm B đối xứng với điểm C qua tâm O cần thêm điều kiện B, O, C thẳng hàng.

OAB cân tại O có Ox là đường trung trực của AB nên Ox cũng là phân giác của

=> Ô₁= Ô₃

OAC cân tại O có Oy là đường trung trực của AC nên Oy cũng là phân giác của

=> Ô₂= Ô₄
B, O, C thẳng hàng <=> Ô₁ + Ô₂ + Ô₃ + Ô₄ = 180°
<=> 2Ô₁ +2Ô₂= 180°
<=> Ô₁ + Ô₂ = 90°
<=>

=90°
Vậy

= 90° thì B đối xứng với c qua tâm O.
Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi M là trung điểm của BC, K là điểm đối xứng với H qua M. Tính số đo các góc ABK, ACK

Giải:
Ta có K là điểm đối xứng của H qua tâm M nên MK = MH
Xét tứ giác BHCK ta có :
BM = MC (gt)
MK = MH (chửng minh trên)
Suy ra: Tứ giác BHCK là hình binh hành
(vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mồi đường)
Suy ra: KB // CH, KC // BH
CH

AB (gt)
Suy ra : KB

AB nên

= 90°
BH

AC (gt)
Suy ra : CK

AC nên

= 90°

103. Trong các hình sau, hình nào có tâm đối xứng? Với các hình đó, hãy chỉ ra tâm đối xứng của hình.
a/ Đoạn thẳng AB.
b/ Tam giác đều ABC.
c/ Đường tròn tâm O.

Giải: Hình có tâm đối xứng là:
a/ Đoạn thẳng AB là hình có tâm đối xứng. Tâm đối xứng của đoạn thẳng AB là trung điểm của nó.
b/ Tam giác đều ABC là hình không có tâm đối xứng.
c/ Đường tròn tâm o là hình có tâm đối xứng. Tâm đổi xứng của (O) là tâm của đường tròn đó.

104. Cho góc xOy và điểm A nằm trong góc đó.
a/ Vẽ điểm B đối xứng với 0 qua A. Qua B vẽ đường thẳng song song với Ox, cắt Oy ở C. Gọi D là giao điểm của CA và Ox. Chứng minh rằng các điểm C và D đổi xứng với nhau qua điểm A.
b/ Từ đó suy ra cách dựng đường thẳng đi qua A, cắt Ox, Oy ở C ,D sao cho A là trung điểm của CD.

Giải:
a/ Xét

OAD và

BAC :
OA = AB (tính chất đối xứng tâm)
Â₁ = Â₂ (đối đinh)
Ô₁ =

(so le trong)
Do đó :

OAD =

BAC (g.c.g)
=> AD = AC
Suy ra : C đối xứng với D qua tâm A.

b/ Cách dựng :
- Dựng B đối xứng với o qua tâm A.
- Qua B dựng đường thẳng song song Ox
- Dựng tia CA cắt Ox tại D.
Ta có D là điểm cần dựng.
Chứng minh: (như câu a)

105. Cho tam giác ABC, điểm M nằm trên cạnh BC. Gọi O là trung điểm của AM. Dựng điểm E thuộc cạnh AB, điểm F thuộc cạnh AC sao cho E đối xứng với F qua O.

Giải:
- Qua điểm M dựng đường thẳng song song với AC cắt AB tại E.
- Qua điểm M dựng đường thẳng song song với AB cắt AC tại F.
Ta có E, F là hai điểm cần dựng
Chứng minh:
ME // AC hay ME // AF
MF // AB hay MF // AE
Nên
Tứ giác AEMF là hình bình hành (theo định nghĩa)
O là trung điểm của AM
Suy ra : EF đi qua o (tính chất hình bình hành)
=> OE = OF
Vậy E đối xứng với F qua tâm O.

B. Giải bài tập bổ sung
8.1. Xét tính đúng, sai của mỗi khẳng định sau:
a/ Trung điểm của một đoạn thẳng là tâm đối xứng của đoạn thẳng đó.
b/ Giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành là tâm đổi xứng của hình bình hành đó.
c/ Trọng tâm của tam giác là tâm đôi xứng của tam giác đó. d/ Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.

Giải:
a/ Đúng
b/ Đúng
c/ Sai
d/ Đúng

8.2. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM và trọng tâm G. Gọi I là điểm đối xứng với A qua G. Chứng minh rằng I là điểm đối xứng với G qua M.