Giải sách bài tập Toán 8 - Dựng hình bằng thước và compa. Dựng hình thang

A.Giải bài tập
45. Dựng tam giác ABC vuông tại A, biết cạnh huyền BC = 5cm.  = 35°


Giải:
Cách dựng:
- Dựng đoạn BC = 5 cm.
- Dựng góc . bằng 35°.
- Dựng CA  Bx ta có  ABC dựng được.

Chứng minh:  ABC có Â = 90°,  = 35°
BC = 5 cm. Thỏa mãn điều kiện bài toán.

46. Dựng tam giác ABC vuông tại A, biết cạnh huyền BC = 4,5cm và cạnh góc
vuông AC = 2cm


Giải: Cách dựng :
- Dựng đoạn AC = 2 cm
- Dựng góc  bằng 90°.
- Dựng cung tròn tâm c bán kính 4,5 cm cắt Ax tại B. Nối CB ta có A ABC cần dựng.

Chứng minh:  ABC có Â = 90°, AC = 2 cm
BC = 4,5 cm. Thỏa mãn điều kiện bài toán.

47. Dựng góc 30° bằng thước và compa.


Giải: Cách dựng:
- Dựng tam giác đều ABC.
- Dựng tia phân giác AD của
ta có  = 30°
Chứng minh: ABC đều
=>  = 60°
 =  (tính chất tia phân giác)
=>  = 30°

48. Dựng hình thang cân ABCD (AB // CD)
biết CD = 3cm, AC = 4cm,  = 70°.


Giải: Phân tích: Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán, ta thấy  ACD xác định được vì biết CD = 3 cm,  = 70°. AC = 4 cm.
Ta cần xác định đỉnh B. Đỉnh B thỏa mãn 2 điều kiện :
- Nằm trên tia Ay // CD
B cách D một khoảng bằng 4 cm.

Cách dựng : - Dựng đoạn CD = 3 cm
Dựng góc CDx bằng 70°.
Trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa tia Dx dựng cung tròn tâm C bán kính 4 cm cắt Dx tại A.
Dựng tia Ay // CD.
Trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A, dựng cung tròn tâm D bán kính 4 cm cắt Ay tại B.
-Nối BC ta có hình thang ABCD cần dựng.

Chứng minh: Thật vậy theo cách dựng ta có AB // CD nên tứ giác ABCD là hình thang có CD = 3 cm,  = 70°, AC = BD = 4 cm.
Vậy ABCD là hình thang cân.
Biện luận:  ACD luôn dựng được nên hình thang ABCD luôn dựng được. Bài toán có một nghiệm hình.

49. Dựng hình thang ABCD (AB // CD) biết AD = 2 cm,  = 90°, DC = 4 cm.


Giải:
Phân tích: Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa mãn điêu kiện bài toán.
Ta thấy  ADC xác định được vì biết AD = 2 cm.  = 90°, DC = 4 cm. Ta cần xác định đinh B. Đỉnh B thỏa mãn hai điều kiện:
- B nằm trên tia Ax // CD.
- B cách C một khoảng bằng 3 cm
Cách dựng: - Dựng  ADC biết AD = 2 cm,  = 90°, DC = 4 cm.
- Dựng Ax  AD.
- Dựng cung tròn tâm c bán kính băng 3 cm, căt Ax tại B.
Nối BC ta có hình thang ABCD dựng được.

Chứng minh: Thật vậy theo cách dựng, ta có: AB // CD,  = 90°.
Tứ giác ABCD là hình thang vuông.
Lại có AD = 2 cm. CD = 4 cm, BC = 3 cm.
Hình thang dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.
Biện luận:  ADC dựng được, hình thang ABCD luôn dựng được.
Bài toán có hai nghiệm hình.

50. Dựng tam giác ABC cân tại A. biết BC = 3cm, đường cao BH = 2,5cm

Giải: Cách dựng:
- Dựng BH = 2.5 cm
- Dựng  = 90°
- Dựng cung tròn tâm bán kính 3 cm cắt Hx tại C.
- Dựng BC.
- Dựng đường trung trực BC cắt CH tại A.
- Dựng AB, ta có  ABC cần dựng.


Chứng minh: Ta có AC = AB (tính chất đường trung trực)
nên  ABC cân tại A, BH  AC
Ta lại có BC = 3 cm, BH = 2,5 cm.
Vậy  ABC dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.

51. Dựng tam giác ABC, biết BC = 4 cm,  = 40°, AC = 3 cm
Giải: Cách dựng:
- Dựng đoạn thẳng BC = 4cm
- Dựng góc  bằng 40°.
- Dựng trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa tia Bx cung tròn tâm C bán kính 3 cm cắt Bx tại A.
- Kẻ AC, ta có tam giác ABC cần dựng.


Chứng minh: Thật vậy theo cách dựng
 ABC có BC = 4 cm, = 40°, AC = 3 cm. Thỏa mãn điều kiện bài toán.
Bài toán có hai nghiệm hình.

52. Dựng hình thang ABCD (AB // CD), biết
Phân tích: Giả sù hình thang ABCD dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán. Tam giác ADC dựng được vì biết ba cạnh AD = 2 cm, DC = 4 cm, AC = 3,5 cm.
Điểm B thỏa mãn hai điều kiện :
- B nằm trên đường thẳng đi qua A và song song với CD.
- B cách C một khoảng bằng 2,5 cm.

Cách dựng:
- Dựng ∆ ADC biết AD = 2 cm, DC = 4 cm, AC = 3,5 cm
- Dựng tia Ax // CD. Ax nằm trong nửa mặt phăng bờ AD chứa điểm C.
- Dựng cung tròn tâm c bán kính 2,5 cm. Cung này cắt Ax tại B, nối CB ta có hình thang ABCD cần dựng.

Chứng minh:
Tứ giác ABCD là hình thang vỉ AB // CD
Hình thang ABCD có : AD = 2 cm, CD = 4 cm, AC = 3,5 cm, BC = 2,5 cm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Biện luận: Vì  ADC luôn dựng được nên hình thang ABCD dựng được.
Vì cung tròn tâm c bán kính 3 cm cắt Ax tại hai điểm ta dựng được 2 hình thang thỏa mãn bài toán.

53. Dựng hình thang cân ABCD có AB // CD, biết CD = 2cm. CD = 4cm, AC = 3,5cm

Giải: Phân tích: Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán. Tam giác ADC dựng được vì biết ba cạnh AD = 2 cm, CD = 4 cm, AC = 3,5 cm. Điểm B thỏa mãn 2 điều kiện:
- B nằm trên đường thẳng đi qua A và song song với CD.
- B cách D một khoảng bằng 3,5 cm.

Cách dựng:
- Dựng  ADC biết AD = 2 cm, AC = 3,5 cm, CD = 4 cm
- Dựng tia Ax // CD. Ax năm trong nửa mặt phang bờ AD chứa điểm C.
- Dựng cung tròn tâm D bán kính 3,5 cm. Cung này cắt Ax tại B. Nối CB ta có hình thang ABCD cần dựng.

Chứng minh:
Tứ giác ABCD là hình thang vi AB // CD.
AC - BD = 3,5 cm
Vậy hình thang ABCD là hình thang cân.
Hình thang cân ABCD có : AD = 2 cm, CD = 4 cm, AC = 3,5 cm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Biện luận: Tam giác ADC luôn dựng được nên hình thang ABCD luôn dựng được. Cung tròn tâm D bán kính 3,5 cm cắt Ax tại I điểm ta dựng được một hình thang thỏa mãn yêu cầu bài toán.

54. Dựng hình thang cân ABCD có AB// CD, biết hai đáy AB =2cm, CD = 4cm, đường cao AH = 2cm.


Phân tích:
Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán. Tam giác ADH dựng được vi biết hai cạnh góc vuông AH = 2 cm và HD = 1 cm.  = 90°. Vì đáy AB < CD nên  < 90°. Điểm H nằm giũa D và C.
Điểm C nằm trên tia đối tia HD và cách H
Điểm B thỏa mãn hai điều kiện :
- B nằm trên đường thẳng đi qua A và song song với DH.
- B cách A một khoảng bằng 2 cm.

Cách dựng:
- Dựng  AHD biết H = 1V, AH = 2 cm. HD = 1 cm.
- Dựng tia đổi tia HD.
- Dựng điểm C sao cho HC = 3 cm.
- Dựng tia Ax // DH, Ax nằm trên nửa mặt phẳng bờ AD chứa điểm H.
- Dựng điểm B sao cho AB = 2 cm. Nối CB ta có hình thang ABCD cần dựng.

Chứng minh:
Tứ giác ABCD là hình thang vì AB // CD.
Kẻ BK  CD. Tứ giác ABKH là hình thang có 2 cạnh bên song song
nên: BK = AH và KH = AB
Suy ra : KC = HC - KH = HC - AB = 3 - 2 = 1 (cm)
Suy ra :  AHD =  BKC (c.g.c) =>  =
Vậy hình thang ABCD là hình thang cân.
Hình thang cân ABCD có : AH = 2 cm, đáy AB = 2 cm, đáy CD = 4 cm
Thỏa mãn điều kiện bài toán.

Biện luận: Tam giác AHD luôn dựng được nên hình thang ABCD luôn dựng được. Ta luôn dựng được một hình thang thỏa mãn điều kiện bài toán.

55. Dựng hình thang ABCD, biết hai đáy AB= 2cm,CD = 4cm, = 70°, = 50°.


Giải: Phân tích:
Giả sử hình thang ABCD thỏa mãn yêu cầu bài toán. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt CD tại E. Hình thang ABCE có 2 cạnh bên song song nên AB = EC = 2 cm do đó DE = 2 cm.
Tam giác ADE dựng được vì biết 2 góc kề với một cạnh.
Điểm C nằm trên tia DE cách D một khoảng bằng 4 cm.
Điểm B thỏa mãn hai điều kiện :
- B nằm trên đường thẳng đi qua A và song song với CD.
- B nằm trên đường thẳng đi qua c và song song với AE.

Cách dựng:
- Dựng  ADE biết DE = 2 cm,  = 70°, Ê = 50°.
- Dựng tia DE lấy điểm c sao cho DC - 4 cm.
- Dựng tia Ax // CD. Ax nằm trên nửa mặt phẳng bờ AD chứa điểm C.
- Dựng tia Cy // AE, Cy nằm trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A.
Cy cắt Ax tại B. Hình thang ABCD cần dựng.

Chứng minh:
Tứ giác ABCD là hình thang vì AB // CD
CD = CE + ED => CE = CD -ED = 4 - 2 = 2 (cm)
Hình thang ABCE có hai cạnh bên AE // CB
=> AB = CE = 2 (cm)
 = Ê = 50° (hai góc đồng vị)
 =70°
Hình thang ABCD thỏa mãn điều kiện bài toán.

Biện luận: Tam giác ADE luôn dựng được, hình thang ABCD luôn dựng được. Ta dựng được một hình thang thỏa mãn điều kiện bài toán.

56. Dựng hình thang ABCD. biết hai đáy AB = l cm. CD = 4cm, hai cạnh bên AD = 2cm, BC = 3cm.


Giải: Phân tích: Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.
Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt CD tai E ta thấy tam giác AED xác định vì biết ba cạnh, ta cần xác định đinh B và C
- Đỉnh C nằm trên tia DE, cách D một khoảng bằng 4 cm.
- Đỉnh B nằm trên đường thẳng đi qua A song song với đưòng thẳng DE và cách A một khoảng bằng 1 cm.

Cách dựng: - Dựng  ADE biết AD = 2 cm, DE = 3 cm, AE = 3 cm
- Trên tia DE dựng điểm c sao cho DC = 4 cm.
- Dựng đường thẳng đi qua A và song song với DC, lấy điểm B sao cho AB = I cm. Nối BC ta có hình thang ABCD cần dựng.

Chứng minh: Thật vậy theo cách dựng ta có AB // CD
nên tứ giác ABCD là hình thang.
Ta có : AD = 2 cm, DC = 4 cm. AB = 1 cm, hình thang ABCE có hai cạnh đáy AB = EC = 1 cm nên BC = AE = 3 cm.
Hình thang ABCD thỏa mãn điều kiện bài toán.

Biện luận: Tam giác ADE luôn dựng được nên hình thang ABCD dựng được, bài toán có một nghiệm hỉnh.

57. Dựng hình thang cân ABCD, biết hai đáy AB = lcm, CD = 3cm đường chéo
BD = 3cm.


Giải: Phân tích: Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.
Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt CD tại E. Tứ giác ABEC là hình thang có hai cạnh bên song song nên CE = AB = 1 cm. BE = AC = 3 cm
Tam giác BDE xác định được, ta cần xác định đình C và A.
- Đỉnh C nằm trên tia DE cách D một khoảng bằng 3 cm.
- Đỉnh A nằm trên đường thẳng đi qua B và song song với CD, A cách C một khoảng bằng 3 cm.

Cách dựng :
- Dựng  BDE biết BD = 3 cm, BE = 3 cm, DE = 4 cm.
- Dựng điểm C trên tia DE sao cho DC = 3 cm.
- Dựng đường thẳng d đi qua B song song với CD.
- Dựng cung tròn tâm C bán kính 3 cm cắt đường thẳng d tại A. Nối AD ta có hình thang ABCD dựng được.

Chứng minh: Thật vậy theo cách dựng ta có AB // CD.
Tứ giác ABCD là hình thang.
CD = 3 cm, AC = BD = 3 cm. Vậy ABCD là hình thang cân Thỏa mãn điều kiện bài toán.
Bài toán có một nghiệm hình.

58. Dựng tứ giác ABCD, biết AB = 2cm, AD = 3cm,  = 100°, Â = 80°,  = 120°



Giải: Cách dựng:
Dựng  ABD biết AB = 2 cm,
 = 80°. AD = 3 cm.
- Dựng  = 120°.
- Trên nửa mặt phang bờ AD chứa đỉnh B dựng  = 60°. Dy cắt Bx tại C.

Chứng minh: Thật vậy theo cách dựng
AB = 2 cm, Â = 80°, AD = 3 cm,
 = 120°
= 360°- (Â +  + ) = 360°- (80°+ 120° + 60°) = 100°
Tứ giác ABCD dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.

59. Dựng góc 75⁰ bằng thước và compa


Giải: Cách dựng:
- Dựng  ABC đều.
- Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B dựng tia Ax  AC
- Dựng tia phân giác Ay của
ta có  = 75°.

Chứng minh: Thật vậy  ABC đều nên  = 60°,  = 90°
=>  =  -
= 90°- 60° = 30°
 =  = 15°
=>  =  +  = 60°+ 15° = 75°

BÀI TẬP BỔ SUNG
5.1 Dựng hình thang cân ABCD có AB// CD biết BC= 3cm,AB= 2cm,đường cao băng 2,5cm


Giải: Cách dựng :
- Dựng  BHC, BH = 2,5 cm
 = 90°
BC = 3 cm
- Dựng tia đi qua B và song song CH nằm trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm H. Lấy điểm A sao cho BA = 2 cm.
- Dựng cung tròn tâm B bán kính bằng AC cắt đường thắng CH tại D. Nối AD ta có hình thang ABCD cần dựng.

Chứng minh: Thật vậy theo cách dựng AB // CD nên tứ giác ABCD là hình thang có AB = 2 cm, BC = 3 cm, BH - 2,5 cm.
AC = BD
Vậy ABCD là hình thang cân thỏa mãn điều kiện bài toán.

5.2 Dựng tam giác ABC biết  = 80°, BC = 3 cm, BD = 5 cm.

Giải :
Cách dựng:
- Dựng  BCD có B = 80°, BC = 3 cm
BD = 5 cm
- Dựng I là trung điểm của CD.
- Dựng đường trung trực CD cắt BD tại A.
- Nối A với C ta có  ABC cần dựng,

Chứng minh: Thật vậy theo cách dựng ta có ∆ ABC
 = 80°, BC = 3 cm, AB + AC = AB + AD (vì AC = AD tính chất đường trung trực nên AB + AC = 5 cm)
 ABC thỏa mãn điều kiện bài toán.