Giải sách bài tập Toán 8 - Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước

A. Giải bài tập
124. Cho đoạn thẳng AB, kẻ tia Ax bất kỳ, lấy các điểm C,D,E sao cho AC = CD = DE. Qua C, D kẻ đường thẳng song song với BE. Chứng minh rằng đoạn thẳng AB bị chia ra ba phần bằng nhau.


Giải: Gọi giao điểm của các đường thẳng kẻ từ C và D song song với BE cắt AB tại M và N.
Ta có : AC = CD = DE (gt)
CM // DN // BE
Theo tính chất đường thẳng song song cách đều ta có : AM = MN = NB

125. Cho góc vuông xOy, điểm A nằm trên tia Oy, điểm B di chuyển trên tia
Ox. Gọi C
 là điểm đối xứng với A qua B. Điểm C di chuyển trên đường nào?


Giải: Vì điểm C đối xứng với điểm A qua điểm B => BA = BC
Kẻ CH  Ox
Xét hai tam giác vuông AOB và CHB:
 =  =90°
BA = BC (chứng minh trên)
 =  (đối đỉnh)
Do đó :  AOB =  CHB
(cạnh huyền, góc nhọn) => CH = AO
A, O cố định => OA không đổi nên CH không đổi.
C thay đổi cách Ox một khoảng bằng OA không đổi nên c chuyển động trên đường thẳng song song với Ox, cách Ox một khoảng băng OA.
Khi B trùng O thì C trùng với điểm K đối xứng với A qua điểm O.
Vậy C chuyển động trên tia Km // Ox, cách Ox một khoảng không đổi bằng OA.

126. Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC. Gọi I là trung điểm của AM. Điểm I di chuyển trên đường nào?


Giải: Kẻ AH  BC, IK  BC
=> AH // IK
Trong  AHM ta có:
=> AI = IM (gt)
IK // AH (chứng minh trên)
Suy ra : IK là đường trung bình của  AHM
=> IK =  AH
 ABC cố định nên AH không thay đổi => IK =  AH không đổi.
 I thay đổi cách BC một khoảng bằng  không đổi nên I nằm trên đường thẳng song song với BC, cách BC một khoảng bằng .
Khi M trùng với điểm B thì I trùng với P là trung điểm của AB.
Khi M trùng với điểm C thì trùng với Q là trung điểm của AC.
Vậy khi M chuyển động trên cạnh BC của  ABC  thì trung điểm I của AM

127. Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC.
a) So sánh độ dài AM, DE.
b) Tìm vị trí của điểm M trên cạnh BC để DE có độ dài nhỏ nhất.


Giải: a) Xét tứ giác ADME ta có:
 = 90° (gt)
MD  AB (gt) =>  = 90°
ME  AC (gt) =>  = 90°
Suy ra : Tứ giác ADME chữ nhật (vì có ba góc vuông)
=> AM = DE (tính chất hình chữ nhật)

b) Ta có AH  BC nên AM ≥ AH. Dấu “=" xảy ra khi M trùng với H.
mà DE = AM (chứng minh trên)
Vậy DE có độ dài nhỏ nhất bằng AH khi M là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC

128. Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d. Điểm M di chuyển trên đường thẳng d.
Gọi B là điểm đối xứng với A qua M. Điểm B di chuyển trên đường nào?


Giải: Kẻ AK  d, BH  d
M thay đổi trên d, B đối xứng với A qua M nên AM = MB
Xét hai tam giác vuông AKM và BHM :
=  = 90°
AM = MB (chứng minh trên)
 =  (đối đỉnh)
Do đó  AKM =  BHM (cạnh huyền, góc nhọn) => AK = BH
Điểm Ạ cố định, đường thẳng d cố định nên AK không thay đổi
M thay đổi, B thay đổi cách đường thẳng d cố định một khoảng bằng AK không đổi nên B chuyển động trên đường thẳng xy song song với d và cách d một khoảng bằng AK.

129. Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển trên đoạn thẳng ấy. Vẽ về một phía của AB các tam giác đều AMD, BME. Trung điểm I của DE di chuyển trên đường nào?

Giải: Gọi giao điểm của AD và BE là C.
  ABC có: Â = 60° (vì   ADM đều)
  = 60° (vì   BEM đều)
Suy ra:   ABC đều, AC = AB = BC nên điểm C cố định
 =  = 60°
=> ME // AC (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)
hay ME // DC
 =  = 60°
=> MD // BC (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)
hay MD // EC
Tứ giác CDME là hình bình hành
I là trung điểm của DE nên I là trung điểm của CM
Kẻ CH  AB. IK  AB => IK // CH
Trong  CHM ta có:
CI = IM
IK//CH
nên IK là đường trung bình của  CHM => IK =  CH
C cố định => CH không đổi => IK =  CH không thay đổi nên I chuyển động trên đường thẳng song song AB, cách AB một khoảng bằng  CH.
Khi M trùng với A thì I trùng trung điểm P của AC.
Khi M trùng với B thì I trùng với trung điểm Q của BC.
Vậy khi M chuyển động trên đoạn thẳng AB thì I chuyển động trên đoạn PQ (P là trung điểm AC, Q là trung điểm BC).

130. Hình chữ nhật ABCD có cạnh AD bằng nửa đường chéo AC. Tính góc nhọn tạo bởi hai đường chéo.


Giải: Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. AC = BD (tính chất hình chữ nhật)
=>OA = OD =  AC
AD =  AC (gt)
Suy ra : OA = OD = AD
=>  OAD đều
=>  = 60°

131. Dựng hình chữ nhật ABCD biết đường chéo AC = 4cm. góc tạo bời hai đường chéo bằng 100°


Giải: Cách dựng:
- Dựng    OAB biết OA = OB = 2 cm.
 = 100°
-Trên tia đối tia OA dựng điểm c sao cho OC = OA = 2 cm
-Trên tia đổi OB dựng điểm D sao cho
OD = OB = 2 cm
Nối AD, BC. CD ta có hình chữ nhật
ABCD cần dựng.
Chứng minh:
OA = OC, OB = OD nên tứ giác ABCD là hình bình hành
AC = BD = 4 (cm) nên hình bình hành ABCD là hình chữ nhật
Lại có :  = 100°

BÀI TẬP BỔ SUNG
10.1 Tập hợp giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD có A và B cố định là:
(A) Đường trung trực của AD;
(B) Đường trung trực của AB
(C) Đường trung trực của BC ;
(D) Đường tròn (A;AB)
Hãy chọn phương án đúng

Giải: Chọn (B) Đường trung trực của AB. Đúng

10.2 Cho góc xOy cố định khác góc bẹt. Các điểm A và B theo thứ tự chuyển động trên các tia Ox và Oy sao cho OA = OB. Đường vuông góc với OA tại A. đường vuông góc với OB tại B cắt nhau tại M. Diêm M Chuyên động trên đường nào?


Giải: Xét hai tam giác vuông MOA và MOB:  =  = 90° 
OA = OB (gt)
OM cạnh huyền chung
Do đó:
 MAO =  MBO (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
=>   = 
A và B thay đổi, OA và OB luôn bàng nhau nên A MAO và A MBO luôn luôn bằng nhau do đó  =  .
Vậy khi A chuyển động trên Ox, B chuyển động trên Oy mà OA = OB thì điểm M chuyển động trên tia phân giác của góc xOy.

10.3  Xét các hình bình hành ABCD có cạnh AD cổ định, cạnh AB = 2 cm. Gọi
I là giao điểm của AC và BD. Điểm I chuyển động trên đường nào?


Giải: Gọi K là trung điểm của cạnh AD. ta có AD cố định nên điểm K cố định.
Trong  ABD ta có :
IB = ID (tính chất hình bình hành)
KA = KD (theo cách vẽ)
nên KI là đường trung bình của  ABD
=> KI =  AB =   . 2 = 1 (cm)
(tính chất đường trung bình của tam giác)
B và C thay đổi thì I thay đổi luôn cách điểm K cố định một khoảng không đổi nên I chuyển động trên (K ; 1 cm).