Giải sách bài tập Toán 8 - Đường trung bình của tam giác, của hình thang

A. Giải bài tập
34. Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD = DC . Gọi M là trung điểm của BC, I là giao điểm của BD và AM. Chứng minh AI = IM

Giải: Gọi E là trung điểm của DC
Trong ∆ BDC ta có :
M là trung điểm của BC (gt)
E là trung điểm của CD (gt)
nên ME là đường trung bình của ∆ BCD
=> ME//BD (tính chất đường trung bình tam giác)
Suy ra : DI // ME
AD = DC (gt)
DE = DC (theo cách vẽ)
=> AD = DE
DI // ME
nên AI = IM (tính chất đường trung binh của tam giác)

35. Hình thang ABCD có đáy AB, CD. Gọi E, F, I thẹo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC. Chứng minh ràng ba điểm E, F, I thẳng hàng. 

Giải: Hình thang ABCD có AB // CD
E là trung điểm của AD (gt)
F là trung điểm cỦa BC (gt)
nên EF là đường trung bình của hình thang ABCD
=> EF // CD (tính chất đường trung bình hình thang) (1)
Trong ∆ ADC ta có :
E trung điểm của AD (gt)
I trung điểm của AC (gt)
nên EI là đường trung bình của ∆ ADC
=> EI // CD (tính chất đường trung bình tam giác) (2)
Từ (1) và (2) theo tiên đề Ơclít đường thẳng EF và EI trùng nhau
Vậy E, I, F thẳng hàng.

36. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, I theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC.
Chứng minh rằng:
a/ EI // CD,IF // AB.
b/ EF ≤  

Giải: Trong tam giác ADC, ta có:
E là trung điểm của AD (gt)
I là trung điểm của AC (gt)
nên EI là đường trung bình của ∆ ADC
=>EI // CD
(tính chất đường trung bình của tam giác)
Và EI =
Trong tam giác ABC ta có :
I là trung điểm của AC
F là trung điểm của BC
nên IF là đường trung bình của ∆ ABC
=> IF // AB (tính chất đường trung bình của tam giác)

 
b/ Trong ∆ EIF ta có: EF < EI + 1F (dấu “=" xảy ra khi E, I, F thẳng hàng)
mà EI =  ; IF = (chứng minh trên) => EF <
Vậy EF <    (dấu bằng xảy ra khi AB // CD) 

37. Cho hình thang ABCD (AB // CD), M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BC. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD, AC. Cho biết AB = 6cm, CD = 14cm. Tính đội dài MI, IK, K.N.

Giải: Hình thang ABCD có AB // CD
M là trung điểm của AD (gt)
N là trung điểm của BC (gt)
nên MN là đường trung bình của hình thang ABCD
=>MN//AB//CD
MN =  =  = 10 (cm)
Trong tam giác ADC ta có:
M trung điểm của AD
MK//CD
=> AK = KC và MK là đường trung bình của ∆ ADC. 
=> MK = CD = .14 =7 (cm) 
Vậy KN = MN – MK = 10 – 7 = 3 (cm)
Trong ∆ ADB ta có:
M là trung điểm của AD
MI // AB nên DI = IB
=> MI là đường trung bình của ∆ DAB
=> MI = AB = .6 = 3 (cm)
IK = MK – MI = 7 – 3 = 4 (cm)

38. Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GB, GC. Chứng minh rằng DE // IK, DE = IK

Giải: Trong ∆ ABC ta có:
E là trung điểm của AB (gt)
D là trung điểm của AC (gt)
Nên ED là đường trung bình của ∆ ABC
=> ED // BC và ED =
(tính chất đường trung bình của tam giác) (1)
Trong ∆GBC ta có:
I là trung điểm của BG (gt)
K là trung điểm của CG (gt)
Nên IK là đương trung bình của ∆ GBC
=> IK // BC và IK =
(tính chất đường trung bình của tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra : IK // DE và IK = DE

39. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AM, E là giao điểm của BD và AC. Chứng minh AE = EC

Giải: Gọi F là trung điểm của EC
Trong ∆ CBE ta có:
M là trung điểm của cạnh CB
F là trung điểm của cạnh CE
nên MF là đường trung bình của ∆ CBE
=> MF // BE (tính chất đường trung bình của tam giác)
hay DE // MF
Trong ∆ AMF ta có :
D là trung điểm của AM
DE//MF
Suy ra : AE = EF (tính chất đường trung bình của tam giác)
mà EF = FC =

40. Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD, CE. Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của BE, CD. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD,CE. Chứng minh MI = IK=KN.

Giải: Trong ∆ ABC ta có:
E là trung điểm của cạnh AB
D là trung điểm của cạnh AC
nên ED là đường trung bình của ∆ ABC
=>ED // BC và ED=  BC (tính chất đường trung bình của tam giác)
Trong hình thang BCDE, ta có: BC // DE
M là trung điểm cạnh bên BE
N là trung điểm cạnh bên CD
nên MN là đường trung bình hình thang BCDE => MN // DE
MN =  =  (tính chất đường trung bình hình thang) 
Trong ∆ BED ta có :
M là trung điểm BE
MI // DE
Suy ra : MI là đường trung bình của ∆ BED
=> MI =  DE =  BC (tính chất đường trung binh tam giác)
Trong ∆ CED ta có:
N là trung điểm CD
NK // DE
Suy ra : NK là đường trung bình của ∆ BED
=> NK =  DE =   BC (tính chất đường trung bình tam giác)
IK = MN - (MI + NK) = BC -
=>MI = IK = KN =

41. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của hai đường chéo và đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai.

Giải:
Xét hình thang ABCD có AB // CD.
E là trung điểm AD, đường thẳng đi qua E song song với AB cắt BC tại F. AC tại K. BD tại I.
Vì E là trung điểm AD
EF // AB
Suy ra: BF = FC (tính chất đường trung bình hình thang)
Trong ∆ ADC ta có:
E là trung điểm của cạnh AD
EK // DC
Suy ra : AK = KC (tính chất đường trung bình của tam giác)
Trong ∆ ABD ta có:
E là trung điểm của cạnh AD
EI // AB
Suy ra : BI = ID (tính chất đường trung bình của tam giác)
Vậy đường thẳng đi qua trung điểm E của cạnh bên AD của hình thang ABCD thì đi qua trung điểm của cạnh bên BC và trung điểm hai đường chéo AC, BD. 

42. Chứng minh rằng trong hình thang mà hai đáy không bằng nhau, đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo bàng nửa hiệu của hai đáy.

Giải:
Giả sử hình thang ABCD có AB // CD, AB < CD.
I, K lần lượt là trung điểm hai đường chéo BD, AC
Gọi F là trung điểm của BC
Trong ∆ ACB ta có :
K là trung điểm của cạnh AC
F là trung điểm của cạnh BC
nên KF là đường trung bình của ∆ ACB
=>KF//AB và KF =  AB (tính chất đường trung bình của tam giác)
Trong ∆ BDC ta có :
I là trung điểm của cạnh BD
F là trung điểm của cạnh BC
nên IF là đường trung bình của  BDC
=> IF // CD và IF =  CD (tính chất đường trung bình của tam giác)
FK // AB mà AB // CD nên FK // CD
FI // CD (chứng minh trên)
Suy ra 2 đường thẳng FI và FK trùng nhau.
=> I, K, F thẳng hàng, AB < CD
=> FK < FI nên K nằm giữa I và F
IF = IK + KF
=> IK = IF - KF = CD - AB =

43. Hình thang ABCD có AB // CD; AB= a, BC = b, CD = c, DA= d. Các đường phân giác của các góc ngoài đinh A và D cắt nhau tại M, các đường phân giác của các góc ngoài đinh B và c cắt nhau tại N.
a/ Chứng minh rằng MN // CD
b/ Tính độ dài MN theo a, b, c, d (a, b, c, d có cùng đơn vị đo)


Giải: a/ Gọi M' và N’ là giao điểm của tia AM và BN với CD. Ta có:
’ = Â₂ (so le trong)
Â₁ =Â₂ (gt)
Suy ra : ’ = Â₁ 
DM là phân giác của ’
Suy ra : DM là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)
=> AM = MM’
’ = ₂ (so le trong)
₁ = ₂ (gt)
Suy ra : ’ = ₁ nên  ’ cân tại C
CN là phân giác của ’
Suy ra : CN là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)
=>BN = NN’
Suy ra : MN là đường trung bình của hình thang ABN’M’
=> MN // M’N’ (tính chất đường trung bình hình thang)
hay MN // CD

b/ MN =  (tính chất đường trung bình của hình thang)
=> MN =  (1)
mà M’D = AD, CN’ = BC. Thay vào (1):
MN =

44. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi O là trung điểm của AM. Qua O kẻ đường thẳng d cắt các cạnh AB, AC. Gọi AA’, BB’, CC’ là các đường vuông góc kẻ từ A, B, c đến đường thẳng d.
Chứng minh rằng AA’ =

Giải:
Ta có: BB’⊥ d (gt)
CC’⊥ d  (gt)
Suy ra: BB’//CC’
Tứ giác BB'C'C là hình thang
Kẻ MM’ ⊥ d
nên MM' là đường trung bình của hình thang BB'C'C
=> MM’ (1)
Xét hai tam giác vuông AA'O và MM'O:
 =  = 90°
AO = MO (gt)
 =  (đối đỉnh)
Do đó :  AA'O =  MM'O (cạnh huyền, góc nhọn)
=> AA' = MM' (2)
Từ (1) và (2) suy ra : AA’ =

B. Giải bài tập bổ sung
4.1.Trong hình vẽ bên
AB // CD // EF // GH
Và AC = CE = EG.
Biết CD = 9, GH= 13.
Các độ dài AB, EF bằng:
(A) 8 và 10;
(B) 6 và 12;
(C) 7 và ll;
(D)7 và 12

Giải: Chọn (C) 7 và 11

4.2. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B có khoảng cách đến đường thẳng d thứ tự là 20cm và 6cm. Gọi c là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ c đến đường thẳng d.

Giải: a/ Trường hợp A và B nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa đường thẳng d.
Gọi A', B' là chân đường vuông góc kẻ từ A và B đến d.
AA' ⊥ d; BB' ⊥ d => AA' // BB'
Tứ giác ABB'A' là hình thang. Kẻ CH ⊥ d
=> CH // AA' // BB' nên CH là đường trung bình của hình thang ABB'A'
CH =  = = 13 (cm)
b/ Trường hợp A và B nằm trên hai nửa mặt phẳng đổi bờ chứa đường thẳng d.
Kẻ CH ⊥ d cắt A'B tại K

=>CH // AA' // BB’
Trong  AA'B ta có: AC = CB
Mà CK // AA' nên A’K = KB và CK
là đường trung bình của tam giác AA'B
=> CK = (tính chất đường trung bỉnh của tam giác)
=>CK =  = 10 (cm)
Trong  A'BB’ có A'K = KB và KH //BB’
nên KH là đường trung bình của  A'BB'
=> KH = (tính chất đường trung bình của tam giác)
=>KH=  = 3(cm)
CH = CK - KH = 10 - 3 = 7(cm)

4.3. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = AB. Gọi K là giao điểm của DM và AC. Chứng minh rằng AK = 2KC.

Giải: Gọi H là trung điểm của AK
Trong  ADK ta có BH là đường trung bình của  ADK.
=> BH // DK (tính chất đường trung bình của tam giác)
 hay BH//MK
Trong  BCH ta có M là trung điểm của BC
MK//BH
=> CK = HK
AK = AH + HK = 2HK
Suy ra: AH = 2Ck