A. Giải bài tập
106. Tính đường chéo d của một hình chữ nhật, biết các cạnh a = 3cm, b = 5cm. (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)
Giải: Già sử hình chữ nhật ABCD có AB = a = 3cm; BC = b = 5cm; BD = d
Trong tam giác vuông ABD theo định lý Pi-ta-go ta có:
d2 = a2 + b2
=> d2 = 32 + 52 = 9 + 25 = 34
d =
≈ 5,8 (cm)
107. Chứng minh rằng trong hình chữ nhật :
a/ Giao điểm của hai đường chéo là tâm đối xứng của hình.
b/ Hai đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh đối là trục đối xứng của hình.
Giải: Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD.
Vì hình chữ nhật là một hình binh hành nên điểm O là tâm đối xứng của nó.
b/ Ta biết trong hình thang cân đường thẳng đi qua trung điểm của hai đáy là trục đối xứng của nó.
Theo định nghĩa ta có hình chữ nhật cũng là một hình thang cân. Nếu ta xem hĩnh chữ nhật ABCD là hình thang cân có hai cạnh đáy AB và CD thì đường thẳng d1 đi qua trung điểm của AB và CD là trục đối xứng của hình chừ nhật ABCD.
Nếu ta xem hình chữ nhật ABCD là hình thang cân có hai đáy là AD và BC nên đường thẳng d2 đi qua trung điểm của AD và BC là trục đối xứng của hình chữ nhật ABCD.
108. Tính độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của một tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 5cm và 10 cm. (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)
Giải: Giả sử 
ABC có Â = 90°. M trung điểm BC; AB = 5cm;
AC = l0cm. Theo định lý Pi-ta-go ta có :
BC2 = AB2 + AC2
BC = 
≈ 11,2 (cm)
AM = 
BC (tính chất tam giác vuông)
=> AM ≈ 11,2 = 5,6 (cm)
109. Tính x trong hình bên
- Kẻ BH 
CD
 = 90°, 
= 90°, BHD = 90°
Suy ra : Tứ giác ABHD là hình chữ nhật
(vì Có ba góc vuông)
=> AB = DH, BH = AD
HC = CD - DH
= CD - AB = 24 - 16 = 8 (cm)
Trong tam giác vuông BHC, theo định lý Pi-ta-go ta có :
BC2 = BH2 + HC2
=>BH2 = BC2 - HC2
BH2 = 172 - 82 = 289 - 64 = 225
BH= 
= 15 (cm)
x = AD = BH = 15 (cm)
110. Chứng minh rằng các tia phân giác các góc của hình bình hành cắt nhau tạo thành một hình chữ nhật.
Giải: Gọi G, H, E, F lần lượt là giao điểm của các đường phân giác của  và 
; 
và 
C và 
; 
và Â.
Ta có: 
= 
(gt)
= 
(gt)
+ 
= 180° (hai góc trong cùng phía)
Suy ra : 
+ 
= 
. 180° = 90°
Trong 
AFD ta có :
= 180°- (
+ 
)= 180° - 90° = 90°
= 
(đối đinh)
=> 
= 90°
= 
(gt)
= 
(gt)
+ 
= 180° (hai góc trong cùng phía)
=> 
+ 
= 
= 
. 180° = 90°
Trong 
AGB ta có : 
= 180o - (
+ 
) = 180o - 90° = 90°
= 
(gt)
= 
(gt)
+ 
= 180° (hai góc trong cùng phía)
=> 
+ 
= 
(
+ 
) = 
. 180° = 90°
Trong 
EDC ta có : 
= 180°- (
+ 
) = 180° - 90° = 90° hay Ê = 90°
Vậy tác giác EFGH là hình chữ nhật vì có ba góc vuông.
111. Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
Giải: Trong 
ABC ta có:
E trung điểm của AB (gt)
F trung điểm của BC (gt)
nên EF là đường trung bình của 
ABC
=>EF // AC và EF = 
AC
(tính chất đường trung binh của tam giác) (1)
Trong 
DAC ta có:
H là trung điểm của AD (gt)
G là trung điểm của DC (gt)
nên HG là đường trung bình của 
DAC.
=> HG // AC và HG = 
AC (tính chất đường trung bỉnh của tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra : EF // HG và EF = HG
Suy ra : Tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
Ta lại có: BD 
AC (gt)
EF // AC (chứng minh trên)
Suy ra : EF 
BD
Trong 
ABD ta có EH là đường trung bình => EH // BD
Suy ra : EF 
EH hay 
= 90°.
Vậy hình bình hành EFGH là hình chữ nhật.
112. Tìm các hình chữ nhật trong hình vẽ bên
Giải: - Hình a ta có: 
= 
=> AB // DH (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)
hay DH // AE
= 
=> DE // AC (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)
hay DE // AH
 = 90°
Vậy : Tứ giác AHDE là hình chữ nhật.
- Hình b : Tứ giác MNPQ có :
OM = ON = OP = OQ
=> Tứ giác MNPQ có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và bằng nhau. Vậy MNPQ là hình chữ nhật.
113. Các câu sau đúng hay sai?
a/ Hình chữ nhật là tứ giác có tất cả các góc bằng nhau.
b/ Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
c/ Tử giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình chữ nhật.
Giải: a/ Đúng vì hình chữ nhật có 4 góc vuông.
b/ Sai vì hình thang cân có 2 cạnh bên không song song có 2 đường chéo bằng nhau.
c/ Đúng vì hình chữ nhật có 2 đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
114. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. AC = 4cm, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D. E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC.
a/ Tứ giác ADME là hình gì? tính chu vi của tứ giác đó.
b/ Điểm M ở vị trí nào trên BC thì đoạn DE có độ dài nhỏ nhất.
Giải: Xét tứ giác ADME ta có: Â = 90° (gt)
MD 
AB (gt)
=> 
= 90°
ME 
AC (gt)
=> 
= 90°
Suy ra: Tứ giác ADME là hình chừ nhật (vì có 3 góc vuông)
ABC vuông cân tại A => 
= 450
Suy ra : 
DBM vuông cân tại D => DM = DB
Chu vi hình chữ nhật ADME bằng:
2 (AD + DM) = 2 (AD + DB) = 2 AB = 2.4 = 8 (cm)
b/ Gọi H là trung điểm của BC
Suy ra : AH 
BC (tính chất tam giác cân)
AM ≥ AH (dấu “=" xảy ra khi M trùng với H)
Tứ giác ADME là hình chữ nhật
=> AM = DE (tính chất hình chữ nhật)
Suy ra : DE ≥ AH
Vậy DE = AH có độ dài nhỏ nhất khi điểm M là trung điểm của BC
115. Cho tam giác ABC cân tại A, các dường trung tuyển BM, CN cắt nhau tại G. Gọi D là điểm đối xứng với G qua M, gọi E là điểm đôi xứng với G qua N Tư giác BEDC là hình gì? Vì sao?
Giải: Ta có: G là trọng tâm của 
ABC
=> GB = 
GM (tính chất đường trung tuyến)
GC = 
GN (tính chất đường trung tuyến)
Điểm D đổi xứng với điểm G qua điểm M
=> MG = MD hay GD = 2 GM
Suy ra : GB = GD (1)
Điểm E đổi xứng với điểm G qua điểm N
=> NG = NE hay GE = 2 GN
Suy ra : GC = GE (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BCDE là hình bình hành nhảu tại trung điểm của mỗi đường
Xét 
BCM và 
CBN :
BC cạnh chung
= 
(tính chất tam giác cân)
CM = BN (vì AB = AC)
Do đó : 
BCM = ∆
CBN (c.g.c)
=> 
= 
=> 
GBC cân tại G => GB = GC=> BD = CE
Hình bình hành BCDE có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
116. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD. Biết HD = 2cm, HB = 6cm.
Tính độ dài AD, AB (làm tròn đến hàng đơn vị)
Giải: Ta có: DB = HD + HB = 2 + 6 = 8 (cm)
AC = DB (tính chất hình chữ nhật)
OA = OB = OC = OD = 
BD = 4 (cm)
OD = OH + HD
=> OH = OD - HD = 4 - 2 = 2 (cm)
AH 
OD có HO = HD = 2 (cm)
Suy ra : 
ADO cân tại A
=> AD = AO = 4 (cm)
Trong tam giác vuông ABD có 
= 90°
BD2 = AB2 + AD2 (định lý Pi-ta-go)
=> AB2 = BD2 - AD2
AB = 
= 
= 
≈7 (cm)
117. Chứng minh rằng ba điểm C, B. D ở hình bên thẳng hàng.
Giải: Nối AB, BO, BC, BO’, BD.
Trong 
ABC ta có :
OA = OC = R (bán kính đường tròn (O))
nên BO là đường trung tuyến của ∆ ABC mà BO = R (bán kính (O))
=> BO = OA = OC = 
AC
nên tam giác ABC vuông tại B => 
= 90°
Trong 
ABD ta có : AO’ = O'D = R’ (bán kính (O’))
nên BO’ là đường trung tuyến của 
ABD
mà BO’ = R’ (bán kính (O')) => BO’ = AO’ = O’D = 
AD
nên tam giác ABD vuông tại B=> 
= 90°
+ 
= 
=> 
= 90° + 90° = 180°. Vậy C, B. D thẳng hàng
118. Tứ giác ABCD có AB ⊥ CD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của BC, BD, AD AC. Chứng minh rằng EG = FH.
Giải: Trong 
BCD ta có
E trung điểm của BC (gt)
F trung điểm của BD (gt)
Nên EF là đường trung bình của ∆ BCD
=> EF // CD và EF = 
CD (1)
Trong 
ACD ta có:
H là trung điểm AC (gt)
G là trung điểm của AD (gt)
Nên HG là đường trung bình của ∆ ACD
=> HG // AC và HG = 
AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra : EF // HG và EF = HG
Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành (vi có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
Mặt khác: EF // CD (chứng minh trên)
AB 
CD (gt)
Suy ra EF 
AB
Trong 
ABC ta có HE là đường trung bình => HE // AB
Suy ra : HE 
EF hay FEH = 90°
Vậy hình bình hành EFGH là hình chữ nhật.
119. Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi D, E, M theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, BC. Chứng minh rằng tứ giác DEMH là hình thang cân.
Giải: Vì D trung điểm của AB (gt)
E trung điểm của AC (gt)
nên DE là đường trung bình của tam giác ABC
=> DE // BC hay DE // HM
Suy ra: Tứ giác DEMH là hình thang
M trung điểm BC (gt)
nên DM là đường trung bình của 
BAC
=> DM = 
AC (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)
Trong tam giác vuông AHC có AHC = 90°. HE là trung tuyến thuộc cạnh huyền AC.
=> HE = 
AC (tính chất tam giác vuông) (2)
Từ (1) và (2) suy ra : DM = HE
Vậy hình thang DEMH là hình thang cân (vì có 2 đường chéo bằng nhau)
120. Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh AC. Gọi E, F, G theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, DC. Chứng minh tứ giác AEFG là hình thang cân.
Giải: Trong A BDC ta cỏ:
E trung điểm của BD (gt)
F trung điểm của BC (gt)
nên EF là đường trung bình củ
=> EF // DC
hay EF // AG
Suy ra : Tứ giác AEFG là hình
G là trung điểm của DC (gt)
nên FG là đường trung bình của A CBD
=> FG // BD => 
= 
(đồng vị) (1)
Trong tam giác ABD vuông tại A có AE là trung tuyến thuộc cạnh huyền BD
=> AE = ED = 
BD (tính chất tam giác vuông)
nên 
AED cân tại E => Â1 = 
(2)
Từ (1) và (2) suy ra : Â1 = 
Vậy hình thang AEFG là hình thang cân (theo định nghĩa).
121. Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD, CE. Gọi H, K theo thứ tự là chân
đường vuông góc kẻ từ B, C đến đường thẳng DE. Chứng minh rằng EH = DK
Giải: BH 
DE (gt)
CK 
DE (gt)
Suy ra BH // CK nên tứ giác BHK. C là hình thang
Ta có: Gọi M là trung điểm của BC, I là trung điểm của DE
Trong tam giác BDC vuông tại D có DM là trung tuyến thuộc cạnh huyền BC.
=> DM = 
BC (tính chất tam giác vuông)
Trong tam giác BEC vuông tại E có EM là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền BC
=> EM = 
BC (tính chất tam giác vuông)
Suy ra : DM = EM nên 
MDE cân tại M
MI là đường trung tuyến nên MI là đường cao =>MI 
DE
Suy ra: MI // BH // CK
BM = MC
Suy ra : HI = IK (tính chất đường trung bình hình thang)
=> HE + EI = ID + DK
mà EI = ID (theo cách vẽ) => HE = DK
122. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là chân đường vuông góc kè từ H đến AB, AC.
a/ Chứng minh rằng AH = DE.
b/ Gọi I là trung điểm của HB. K là trung điểm của HC. Chứng minh rằng DI // EK
Giải: a/ Xét tứ giác ADHE:
 = 90° (gt)
= 90° (vì HD 
AB)
= 90° (vì HE 
AC)
Suy ra tứ giác ADHE là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông)
=> AH = DE (tính chất hình chữ nhật)
b/ 
BDH vuông tại D có DI là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền BH
=> DI = IB = 2 BH (tính chất tam giác vuông)
=> 
IDB cân tại I => DIB = 
(1)
HEC vuông tại E có EK là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền HC
=> EK = KH = 
HC (tính chất tam giác vuông)
=> 
KHE cân tại K => 
= 
Tứ giác ADHE là hình chữ nhật
=> HE // AD hay-HE // AB => 
= 
(đồng vị) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra : 
= 
=> DI // EK (vì có cặp góc đổng vị bàng nhau)
123. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AM.
a/ Chứng minh rằng HAB = MAC
b/ Gọi D,E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Chứng minh rằng AM vuông góc với DE.
Chứng mình:
a/ AH 
BC (gt) => 
+ B
= 900
+ 
= 90° (vì 
ABC có Â = 900)
Suy ra : 
= 
(1)
ABC vuông tại A có AM là trung tuyến thuộc cạnh huyền BC
=> AM = MC = 
BC (tính chất tam giác vuông)
=> 
MAC cân tại M => 
= 
(tính chất tam giác vuông) (2)
Từ (1) và (2) suy ra : 
= 
b/ Xét tứ giác ADHE có:
 = 90° (gt)
= 90° (vì HD ⊥ AB)
= 90° (vì HE 
AC)
Suy ra: Tứ giác ADHE là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)
=> 
ADH = 
EHD (c.c.c) =>Â1 = 
+ Ê1 = 
= 90°
Suy ra: Ê1 + Â1=90°
Â1 = Â2 (chứng minh trên) => Ê1 + Â2 = 90°
Gọi I là giao điểm của AM và DE
Trong 
AIE ta có:
= 180°- (Ê1 + Â1)= 180° - 90° = 90° => AM 
DE
B. Giải bài tập bổ sung
9.1. Một hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng 4cm và 6cm. Độ dài đường chéo của hình chữ nhật đo bằng bao nhiêu xentimét.
(A) 8cm;
(B) 
cm;
(C) 9cm;
(D) 
cm
Hãy chọn phương án đúng.
Giải: Chọn (B) 
(cm) đúng
9.2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của AB, AC. Tính số đo góc IHK
Giải: 
AHB vuông tại H có HI là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền AB
=> HI = IA = 
AB (tính chất tam giác vuông)
=> 
IAH cân tại I
=> 
= 
(1)
AHC vuông tại H có HK là đường trung tuyên thuộc cạnh huyền AC
=> HK = KA = 
AC (tính chất tam giác vuông)
=> 
KAH cân tại K => 
= 
(2)
= 
+ 
(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra : 
= 
+ 
= 
= 
= 90°
9.3. Cho hình thang cân ABCD, đường cao AH. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm các cạnh bên AD. BC. Chứng minh rằng EFCH là hình bình hành.
Giải: Ta có: E trung điểm của AD (gt)
F trung điểm của BC (gt)
nên EF là đường trung bình của hình thang ABCD
=> EF // CD hay EF // CH
AHD vuông tại H có HE là đường
Ta có: Trung tuyến thuộc cạnh huyền AD.
HE = ED = 
AD (tính chất tam giác vuông)
=> 
EDH cân tại E
=> 
= 
(tính chất tam giác cân)
= 
(vì ABCD là hình thang cân)
Suy ra : 
= 
=> EH // CF (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)
Vậy tứ giác EFCH là hình bình hành.