Giải sách bài tập Toán 8 - Ôn tập chương I

A. Giải bài tập sách bài tập
157. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để EFGH là:
a/ Hình chữ nhật;
b/ Hình thoi ;
c/ Hình vuông.


Giải: Trong  ABC ta có EF là đường trung bình
nên EF // AC và EF = AC (1)
Trong  ADC ta có HG là đường trung bình
Nên HG // AC và HG = AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra EF // HG và EF = HG
Vậy tứ giác EFGH là hình bình hành
a/ Tứ giác EFGH là hình chữ nhật <=> EH  EF <=> AC  BD .
b/ Tứ giác EFGH là hình thoi EH = EF <=> AC = BD .
c/Tứ giác EFGH là hình vuông <=> AC  BD và AC = BD .

158. Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D là trung điểm của BC. Gọi M là điểm đối xứng với D qua AB, E là giao điểm của DM và AB.Gọi M lả điểm đối xứng với D qua AC,F là giao điểm của DN và AC.
a/ Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?
b/ Các tứ giác ADBM, ADCN là hình gì? Vì sao?
c/ Chứng minh rằng M đối xứng với N qua A.
d/ Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác AEDF là hình vuông.


Giải:
Điểm M và điểm D đối xứng qua trục AB
=> AB là đường trung trực của đoạn thẳng MD
=> AB  DM
=>  = 90°
Điểm D và điểm N đối xứng qua trục AC
=> AC là đường trung trực của đoạn thẳng DN
=> AC  DN =>  = 90°
 = 90° (gt)
Vậy tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông)

b/ Tứ giác AEDF lả hình chữ nhật => DE // AC; DF // AB
Trong  ABC ta có : DB = DC (gt)
DE//AC
Suy ra: AE = EB (tính chất đường trung bình của tam giác);
DF // AB
Suy ra: AF = FC (tính chất đường trung bình của tam giác)

Xét tứ giác ADBM: AE = EB (chứng minh trên)
ED = EM (vì AB là trung trực DM)
Suy ra : Tứ giác ADBM là hình bình hành (vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)
AB  DM
Vậy hình bình hành ADBM là hình thoi (vì có hai đường chéo vuông góc)
Xét tứ giác ADCN:
AF = FC (chứng minh trên)
DF = FN (vì AC là đường trung trực DN)
Suy ra : Tứ giác ADCN là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)
AC  DN
Vậy hình bình hành ADCN là hình thoi (vì có hai đường chéo vuông góc)

c/ Tứ giác ADBM là hình thoi => AM // DB và AM = AD
hay AM // BC và AM = AD (1)
Tứ giác ADCN là hình thoi AN // DC và AD = AN
hay AN//BC và AN = AD (2)
Từ (1) và (2) suy ra : AM trùng vớí AN hay M, A, N thẳng hàng
Và AM = AN nên A là trung điểm của MN
Vậy điểm M và điểm N đối xứng qua điểm A.

d/ Hình chữ nhật AEDF trở thành hình vuông khi AE = AF
Ta có : AE =  AB ; AF =  AC
nên AE = AF=> AB = AC
Vậy nếu  ABC vuông cân tại A thì tứ giác AEDF là hình vuông.

159. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đổi xứng với H qua AB, gọi E là điểm đối xứng với H qua AC.
a/ Chứng minh rằng D đối xứng với E qua A.
b/ Tam giác DHE là tam giác gì? Vì sao?
c/ Tứ giác BDEC là hình gì? Vì sao?
d/ Chứng minh rằng BC = BD + CE


Giải: a/ Điểm D đối xứng điểm H qua trục AB
=> AB là đường trung trực của HD
=> AH = AD (tính chất đường trung trực) =>  ADH cân tại A
Suy ra : AB là tia phân giác của  =>  = Â₁
Điểm H và điểm E đối xứng qua trục AC
=> AC là đường trung trực của HE
=> AH = AE (tính chất đường trung trực) =>  AHE cân tại A
Suy ra : AC là đường phân giác của HAE => Â₂ =
 =  +  = 2(Â₁ +Â₂) = 2 . 90°= 180°
=> D, A, E thẳng hàng
AD = AE (vì cùng bằng ẠH)
nên điểm A là trung điểm của đoạn DE
Vậy điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A.

160. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, CD. DB. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để EFGH là:
a/ Hình chữ nhật;
b/ Hình thoi ;
c/ Hình vuông.


Giải: Xem bài 88 sách giáo khoa.

161. Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD. CE cắt nhau ở G. Gọi H là trung điểm của GB. K là trung điểm của GC.
a/ Chứng minh rằng tứ giác DEHK. là hình bình hành.
b/ Tam giác ABC cần có điều kiện gì thì tứ giác DEHK là hình chữ nhật.
c/ Nếu các đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau thì tứ giác DEHK là hình gì?


Giải:
a/ Ta có: GD =  GB
(tính chất đường trung tuyến của tam giác)
GH=   GB(gt)
Suy ra : GD = GH
GE =   GC (tính chất đường trung tuyên của tam giác)
GK =   GC (gt)
Suy ra : GE = GK
Tứ giác DEHK là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
b/ Hình bình hành DEHK trở thành hình chữ nhật khi DH = EK.
mà DH =  BD; EK = CE
nên DH = EK => BD = CE =>  ABC cân tại A.
Vậy  ABC cân tại A thì tứ giác DEHK là hình chữ nhật.

c/ Nếu BD  CE => DH  EK
Hình bình hành DEHK có hai đường chéo vuông góc nên nó là hình thoi.

162. Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD.
a/ Các tứ giác AEFD, AECF là hình gì? Vì sao?
b/ Gọi M là giao điểm của AF và DE. gọi N là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng tứ giác EMFN là hình chữ nhật
c/ Hình bình hành ABCD nói trên có thêm điều kiện gì thì EMFN là hình vuông.


Giải:
a/ Xét tứ giác AEFD:
AB // CD (gt) hay AE // FD
AE =  AB (gt)
FD =  CD (gt)
Suy ra: AE = FD

Tứ giác AEFD là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đôi song song và bằng nhau)
AD = AE = AB
Vậy tứ giác AEFD là hình thoi.
Xét tứ giác AECF : AE // CF (gt)
AE =  AB (gt)
CF = ICD (gt)
Suy ra: AE = CF
Tứ giác AECF là hình binh hành (vì có một cặp cạnh đổi song song và bằng nhau)

b/ Tứ giác AECF là hình thoi.
=> AF  ED =>  = 90° 
AF // CE (vì tứ giác AECF là hình bình hành)
Suy ra : CE  ED =>  = 90°
Xét tứ giác EBFD ta có: EB = FD (vì cùng bằng AE)
EB // FD (vì AB // CD)
Tứ giác EBFD là hình binh hành (vi có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
=> DE // BF
Suy ra : BF  AF => MFN = 1V
Vậy tứ giác EMFN là hình chữ nhật.

c/ Ta có: Hình chữ nhật EMFN là hỉnh thoi => ME = MF
ME =  DE (tính chất hình thoi)
MF =  AF (tính chất hình thoi)
Suy ra: DE = AF
=> Tứ giác AEFD là hình vuông (vì hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau)
 => Â = 90° => Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.
Ngược lại: ABCD là hình chữ nhật. => Â = 90°
Hình thoi AEFD có Â = 90° nên AEFD là hình vuông
=> AF = DE => ME = MF (tính chất hỉnh vuông)
Hình chữ nhật EMFN là hình vuông (vì có 2 cạnh kề bàng nhau).
Vậy hình chữ nhật EMFN là hình vuông nếu ABCD là hình chữ nhật có AB = 2AD.

163. Cho hình bình hành ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD.
a/ Tứ giác DEBF là hình gì? Vì sao?
b/ Chứng minh rằng các đường thằng AC, BD, EF cùng cắt nhau tại một điểm.
c/ Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N. Chứng minh rằng tứ giác EMFN là hình bình hành.


Giải:
a/ Xét tứ giác DEBF: AB // CD (gt)
hay DF//EB
EB =  AB(gt)
DF = CD (gt)
Suy ra : EB = DF
Tứ giác DEBF là hình bình hành
(vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

b/ Gọi O là giao điểm của AC và BD. 
OB = OD (tính chất hình bình hành)
Tứ giác DEBF là hình bình hành
nên EF và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Suy ra: EF đi qua trung điểm O của BD.
Vậy AC, BD và EF cắt nhau tại o trung điểm của mồi đoạn.

c/ Xét EOM và FON:
 =  (so le trong)
OE - OF (tính chất hình bình hành)
 = (đối đỉnh)
Do đó : EOM = FON (g.c.g)
=> OM = ON
Vậy tứ giác EMFN là hình bình hành (vì có hai đường chéo cẳt nhau tại trung điểm của mồi đường).

164. Cho đoạn thẳng AB = a. Gọi M là một điểm nằm giữa A và B.Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMNP, BMLK có tâm theo thứ tự là c, D. Gọi I là trung điểm của CD.
a/ Tính khoảng cách từ 1 đến AB.
b/ Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì I di chuyển trên đường nào?


Giải:
a/ Kẻ CE ⊥ AB, IH ⊥ AB? DF ⊥ AB
=>CE // DF // IH
IC = ID (gt)
nên IH là đường trung bình của hình thang DCEF
=> IH =
C là tâm hình vuông AMNP
 CAM là tam giác vuông cân tại C
CE ⊥ AM => CE là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)
=> CE =  AM
D là tâm hình vuông BMLK =>  DBM vuông cân tại D
DF ⊥ BM
=> DF là đường trung tuyên (tính chất tam giác cân) => DF =  BM
Vậy CE + DF =   AM +  BM =  (AM + BM) =   AB =   =>  =


b/ Gọi Q là giao điểm của BL và AN.
Ta có: AN  MP (tính chất hình vuông)
BL  MK (tính chất hình vuông)
MP  MK (tính chất hai góc kề bù)
Suy ra : BL  AN =>  QAB vuông cân tại Q cố định.
M thay đổi thì I thay đổi luôn cách đoạn thẳng AB cố định một khoảng không đổi bằng   nên I chuyên động trên đường thẳng song song với AB, cách AB một khoảng bằng
Khi M trùng B thì I trùng với s là trung điểm của BQ.
Khi M trùng với A thì I trùng với R là trung điểm của AQ.
Vậy khi M chuyển động trên đoạn AB thì I chuyển động trên đoạn thẳng RS song song với AB, cách AB một khoảng băng

B. Giải bài tập bổ sung
1.1. Điền vào chỗ trống:
a/ Tứ giác có hai đường chéo cất nhau tại trung điểm của mỗi đường là…………………..
b/ Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại tại trung điểm của mỗi đường là …………………….
c/ Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường là ………………..

Giải:
a/ Là hình bình hành
b/ Là hình chữ nhật
c/ Là hình thoi

1.2. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D.E,F theo thứ tự là Trung điểm của AB, BC, AC.
a/ Chứng minh rằng ADEF là hình thoi.
b/ Tam giác ABC có thêm điều kiện gì thì ADEF là hình thoi


Giải:
a/ Ta có: E trung điểm của BC (gt)
D là trung điểm của AB (gt)
nên ED là đường trung bình của  ABC
=> DE = AF =  AC(1) 
F là trung điểm của AC (gt)
nên EF là đường trung bình  ABC
=> EF = AD =  AB (2)
AB = AC (gt)
Từ (1), (2) và (gt) suy ra : AD = DE = EF = AF
Vậy tứ giác ADEF là hình thoi.

b/ Hình thoi ADEF là hình vuông => Â = 90°
=>  ABC vuông cân tại A
Ngược lại nếu  ABC vuông cân tại A
=> Tứ giác ADEF là hình thoi có Â = 90°
=> Hình thoi ADEF là hình vuông
Vậy hình thoi ADEF là hình vuông thì  ABC vuông cân tại A.