Giải sách bài tập Toán 8 - Đa giác – đa giác đều

A. Giải bài tập
1. Trong các hình dưới đây hình nào là đa giác lồi? Vì sao?


Giải:
Các hình c, e, g là các đa giác lồi vì đa giác nằm trên một nửa mặt phẳng với bờ chứa ất kỳ cạnh nào của đa giác.
- Các hình a, b, d không phải là đa giác lồi vì đa giác nằm trên hai nửa mặt phẳng với bờ là đường thẳng chứa cạnh của đa giác.

2. Hình vẽ bên. Hãy vẽ một đa giác lồi mà các đỉnh là một trong các điểm đã cho trong hình

Giải:
 

3. Tam giác đều. hình vuông, ngũ giác đều, lục giác đều,...

4. Chứng minh rằng số đo của một hình n-giác đều là



Giải: Vẽ một n-giác lồi. kẻ các đường chéo xuất phát từ một đỉnh của n-giác lồi thì chia đa giác đó thành (n - 2) tam giác.
Tổng các góc của n-giác lồi bằng tổng các góc của (n - 2) tam giác bằng (n - 2). l80°
Hình n-giác đều có n góc bằng nhau nên số đo mỗi góc bằng (n-2). 180°

5. Tính số đo góc của hình 8 cạnh đều, 10 cạnh đều, 12 cạnh đều.


Giải: Áp dụng công thức tính số đo mồi góc của đa giác đều có n cạnh bằng :  
- Đa giác đều 8 cạnh => n = 8, số đo mỗi góc là:   = 135⁰
- Đa giác đều 8 cạnh => n = 10, số đo mỗi góc là:   = 144⁰

- Đa giác đều 12 cạnh => n = 12, số đo mỗi góc là:  = 150⁰


6. a/ Vẽ hình và tính số đường chéo của ngũ giác, lục giác.
b/ Chứng minh rằng hình n-giác có tất cả  đường chéo


Giải: a/ Từ mỗi đỉnh của ngũ giác vẽ được đường chéo. Ngũ giác có 5 đỉnh ta kẻ được
5.2 = 10 đường chéo, trong đó mỗi đường chéo được tính hai lần. Vậy ngũ giác có tất cả 5 đường chéo.
Từ mỗi đỉnh của lục giác vẽ được 3 đường chéo. Lục giác có 6 đỉnh ta kẻ được 3 đường chéo. Lục giác có 6 đỉnh ta kẻ được 6.3 = 18 đường chéo, trong đó mỗi đường chéo được tính hai lần. Vậy lục giác có tất cả là 9 đường chéo.

b/ Từ mỗi đỉnh của n - giác nối với các đinh còn lại ta được n - 1 đoạn thẳng, trong đó có 2 đoạn thẳng là cạnh của hình n - giác (hai đoạn thẳng nối với hai đỉnh kề nhau). Vậy qua mỗi đỉnh của n - giác vẽ được n - 3 đường chéo. Hình n - giác có n đỉnh kẻ được n (n - 3) đường chéo, trong đó mỗi đường chéo được tính hai lần. Vậy hình n - giác có tất cả  đường chéo.


7. Tìm số đường chéo của hình 8 cạnh, 10 cạnh, 12 cạnh.

Giải: Áp dụng công thức tính ở bài 6.
Đa giác có 8 cạnh, số đường chéo là :  = 20 đường chéo
Đa giác có 10 cạnh, số đường chéo là : = 35 đường chéo
Đa giác có 12 cạnh, sổ đường chéo là :  = 54 đường chéo


8. Chứng minh rằng tổng các góc ngoài của một đa giác có số đo bằng 360°


Giải: Tổng số đo của góc trong vả góc ngoài ở mỗi đỉnh của hình n - giác bằng 180°.
Hình n - giác có n đỉnh nên tổng số đo các góc trong và góc ngoài của đa giác bằng n . 180°.
Mặt khác ta biết tổng các góc trong của hình n - giác bằng (n - 2). 180°.
Vậy tổng số đo các góc ngoài của hình n - giác là :
n . 180° - (n - 2) . 180° = n . 180° - n . 180° + 2 . 180° = 360°

9. Đa giác nào có tổng số đo các góc trong bằng tổng số đo các góc ngoài?

Giải:
Hình n-giác lồi có tổng số đo các góc trong bằng (n -2). 180° và tổng các góc ngoài bằng 360°.
Đa giác lồi có tổng các góc trong bằng tổng các góc ngoài bằng 360°.
=> (n - 2). 180° = 360° => n = 4
Vậy tứ giác lồi có tông các góc trong và góc ngoài bằng nhau.
 
10. Đa giác có nhiều nhất là bao nhiêu góc nhọn?

Giải:
Ta có: nếu góc của đa giác lồi là góc nhọn thì góc ngoài tương ứng là góc tù. Nếu đa giác lồi có 4 góc nhọn thì tổng các góc ngoài của đa giác lớn hơn 360°, mâu thuẫn định lý trong các góc ngoài của đa giác lồi bằng 360°.
Vậy đa giác lồi có nhiều nhất là 3 góc nhọn.

11. Một đa giác đều có tổng số đo tất cả các góc ngoài và một góc trong của đa giác đó bằng 468°. Hỏi đa giác đều đó có mấy cạnh?
Tổng số đo các góc ngoài của đa giác bằng 360°.
Số đo một góc trong của đa giác đều là 468° - 360° = 108°.
Gọi n là số cạnh của đa giác đều. Ta có số đo mỗi góc của đa giác đều bằng  = 180⁰ => 180 . n – 360 = 180 . n => 72 n = 360 => n = 5
Vậy đa giác đều cần tìm có 5 cạnh.

B. Giải bài tập bổ sung:
Mỗi câu sau đây đúng hay sai?
a/ Tam giác và tứ giác không phải là đa giác.
b/ Hình gồm n đoạn thẳng đôi một có một điểm chung gọi là đa giác.(với n là số tự nhiên lớn hơn 2)
c/ Hình gồm n đoạn thẳng. (với n là số tự nhiên lớn hơn 2) trong đó bất kỳ hai đoạn thẳng nào có một điểm chung cũng không cùng nam trên cùng một đường thang được gọi là đa giác.
d/ Hình tạo bời nhiều hình tam giác được gọi là hình đa giác.
e/ Đa giác luôn nằm trong nữa mặt phẳng cho trước được gọi là đa giác.
f/ Đa giác luôn nằm trong nữa mặt phẳng có bờ là một đường thẳng chứa một cạnh của nó được gọi là đa giác lồi.
g/ Hình gồm hai đa giác lồi cho trước là một đa giác lồi.

Giải: a/ Sai;
b/ Sai;
c/ Đúng;
d/ Sai;
e/ Sai;
f/ Sai;
g/  Sai

1.2 a/ Cho tam giác đều ABC. Gọi M. N. p tương ứng là trung điểm của các cạnh AB. AC. BC. Chứng minh tam giác MNP là tam giác đều.
b/ Cho hình vuông ABCD. Gọi M. N, P. Q tương ứng là trung điểm của các cạnh BC. CD, DA, AB. Chứng minh MNPQ là hình vuông.
c/ Cho ngũ giác đều ABCDE. Gọi M, N, P, Q, R tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CD, DE, EA, AB. Chứng minh MNPQR là ngũ giác đều.


Giải:
a/ Ta có: M trung điểm BC;
N trung điểm AC
nên MN là đường trung bình của  ABC => MN =  AB
Ta có: P là trung điểm của AB nên MP là đường trung bình của  ABC => MP = AC
NP là đường trung bình của  ABC => NP =  BC
mà AB = BC = AC (gt)
=> MN = MP = NP. Vậy  MNP đều

b/ Xét  APQ và  BQM :

AQ = BQ(gt)
 =  = 90°
AP = BM (gt)
Do đó :  APQ =  BQM (c.g.c)
=> PQ = QM Xét  BQM và  CMN :
BM = CM (gt)
 =  = 90°
BQ = CN (gt)
Do đó :  BQM =  CMN (c.g.c)
=> QM = MN (2)
Xét  CMN và  DNP : CN = DN (gt)
 =  = 90°
CM = DP (gt)
Do đó :  CMN =  DNP (c.g.c) => MN = NP (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra : MN = NP = PQ = QM
nên tứ giác MNPQ là hình thoi
Vì AP = AQ nên  APQ vuông cân tại A
BQ = BM nên  BMQ vuông cân tại B
=>  =  =45°
 +  +  = 180° (kề bù)
=>  = 180°- ( + ) = 180° - (45°+ 45°) = 90°
Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông.

c/ Xét  ABC và  BCD : AB = BC (gt)

 =  (gt) BC = CD (gt)
Do đó  ABC =  BCD (c.g.c)
=>AC = BD (1)
Xét  BCD và  CDE : BC = CD (gt)
  =   (gt)
CD = DE (gt)
Do đó  BCD =  CDE (c.g.c)
=> BD = CE
Xét  CDE và∆ DEA : CD = DE (gt)
 = Ê (gt)
DE = EA (gt)
Do đó  CDE =  DEA (c.g.c)
=> CE = DA (3)
Xét ∆ DEA và ∆ EAB: DE = EA (gt)
Ê = Â (gt)
EA = AB (gt)
Do đó  DEA =  EAB (c.g.c)
=> DA = EB (4)
Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra : AC = BD = CE = DA = EB
Trong  ABC ta có RM là đường trung bình
=> RM =  AC (tính chất đường trung bình của tam giác)
Mặt khác, ta có: Trong  BCD ta có MN là đường trung bình
=> MN =  BD (tính chất đường trung bình của tam giác)
Trong  CDE ta có NP là đường trung bình
=> NP =  CE (tính chất đường trung bình của tam giác)
Trong  DEA ta có PQ là đường trung bình
=> PQ = DA (tính chất đường trung bình của tam giác)
Trong  EAB ta có QR là đường trung bình
=> QR =  EB (tính chất dường trung bình của tam giác)
Suy ra : MN = NP = PQ = QR = RM
Ta có: Â =  =  =  = Ê =   = 108°
 DPN cân tại D
=>  = =  =   = 36⁰
 CNM cân tại C
=>  = =   =   = 36⁰
 +  +  = 180°
=>  = 180° - ( + ) = 180° - (36° + 36°) = 108°
 BMR cân tại B
=>  = =   =    = 36⁰
 +  + = 180°
=>  = 180° - ( + )= 180° - (36° + 36°) = 108°
 ARQ cân tại A
=>  =  =    = 36⁰
+  +  = 180°
=>  = 180°-( + ) =180° - (36° + 36°)= 108°
 QEP cân tại E
=> EQP= EPQ =   =   = 36⁰
 +  +  = 180°
=>  = 180⁰ – ( + ) 180° - (36° + 36°) = 108°
 + +  = 180°
=>  = 180° - ( + )= 180° - (36°+ 36°)= 108°
Suy ra :  = =  =  =
Vậy MNPQR là ngũ giác đều.

1.3. Cho hình vuông ABCD có AB = 3cm. Trên tia đổi của tia BA lấy điểm K sao cho BK = lcm. Trên tia đối của tia CB lấy điểm L sao cho CL = lcm. Trên tia đối của tia CD lấy điểm M sao cho DM = lcm. Trên tia đối của tia AD lấy điểm N sao cho AN = lcm. Chứng minh KLMN là hình vuông.


Giải:
Xét  ANK và  BKL :
AN = BK (gt)
 =  = 90°
AK = BL (vì AB = BC, BK = CL)
Do đó ∆ ANK= ∆ BKL (c.g.c)
=> NK =  KL (1)
Xét BKL và CLM:
BK = CL (gt)
  =   = 90⁰
BL = CM (vì BC = CD, CL = DM)
Do đó ∆ BKL = ∆ CLM (c.g.c)
=> KL = LM (2)
Xét ∆ CLM và ∆ DMN: CL = DM (gt)
 = 90⁰
CM = DN (vì CD = DA, DM = AN)
Do đó  CLM =  DMN (c.g.c)
=> LM = MN (3)
Từ (1), (2) và (3) => NK = KL = LM = MN
Tứ giác MNKL là hình thoi.
∆ ANK = ∆ BKL=>  =
Trong tam giác ANK có Â = lv =>  +  = 90°
=>  +  = 90° hay  = 90°
Vậy tứ giác MNKL là hình vuông.