Giải sách bài tập Toán 8 - Hình thang

A. Giải bài tập
11. Tính các góc của hình thang ABCD
(AB//CD), biết rằng  = 3, -  = 30°
 
Giải - AB // CD
=> Â +  = 180° (hai góc trong cùng phía);
Ta có: Â = 3  (gt)
=> 3  +  = 180°
=>  = 45°
=> Â = 3.45°= 135°
 +  = 180° (hai góc trong cùng phía)
 -  = 30° (gt)
=>2  =210° =>  = 105°
  =  - 30° = 105° - 30° = 75°

12. Tứ giác ABCD có BC = CD và DB là tia phân giác của góc D. Chứng minh rằng ABCD là hình thang.

Giải: ∆ BCD có BC = CD (gt) nên ∆ BCD cân tại C.
=>  =  (tính chất tam giác cân)
Mà   =   (gt)
Suy ra :  =  do đó : BC // AD (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)
Vậy ABCD là hình thang (theo định nghĩa)

13. a/ Tứ giác ở hình (1) chỉ có 1 cặp cạnh đối song song.
b/ Tứ giác ở hình (3) có hai cặp cạnh đối song song.
c/ Tứ giác ở hình (I) và hình (3) là hình thang.

14. Tính các góc B và D của hình thang ABCD, biết rằng  = 60°,  = 130°

Giải: Hình thang ABCD ta có, Â và  là 2 góc đối
a/ Trường hợp  và  là 2 góc kề với cạnh bên.
=> AD // BC
 +  = 180° (hai góc trong cùng phía bù
nhau)
=>  = 180°- Â = 180°- 60°= 120°
 +  = 180° (hai góc trong cùng phía bù nhau)
=>  = 180°-   = 180°- 130° = 50°
b/ Trường hợp  và  là 2 góc kề với cạnh bên. => AB // CD
 +  = 180° (hai góc trong cùng phía bù nhau)
=> = 180° - Â = 180°- 60° =
 +   = 180° (hai góc trong cùng phía bù nhau)
=>  = 180°-  = 180°- 130° = 50°


15. Chứng minh rằng trong hình thang có nhiều nhất là hai góc tù, có nhiều nhất là hai góc nhọn.

Giải:
Xét hình thang ABCD có AB // CD
 và  là hai góc kề với cạnh bên.
=> Â +  = 180° (2 góc trong cùng phía) nên trong hai góc đó có nhiều nhất 1 góc nhọn và có nhiều nhất là 1 góc tù.
 và c là hai góc kề với cạnh bên
=>  +   = 180° (2 góc trong cùng phía)
nên trong hai góc đó có nhiều nhất một góc nhọn và có nhiều nhất một góc tù. Vậy trong bốn góc là : Â, , ,  có nhiều nhất là 2 góc nhọn và có nhiều nhất là hai góc tù.

16. Chứng minh rằng trong hình thang các tia phân giác của hai góc kề với một cạnh bên vuông góc với nhau.

Giải: Giả sử hình thang ABCD có AB // CD
 =  =  (gt)
 =  =  (gt)
Mà Â +  180⁰ (2 góc trong bù nhau)
Suy ra :  +  = (Â + ) = 90°
Trong ∆ AED ta có :
 +  + , =  180° (tổng ba góc trong tam giác)
 =>  = 180° - ( + ) = 180° - 90° = 90°
Vậy AE ⊥ DE

17. Cho tam giác ABC. các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt các cạnh AB và AC ở D và E.
a/ Tìm các hình thang trong hình vẽ.
b/ Chứng minh răng hình thang BDEC có một cạnh đáy bằng tổng hai cạnh bên.

Giải:
a/ Đường thẳng đi qua 1 song song với BC cắt AB tại D và AC tại E, ta có các hình thang sau: BDEC. BDIC. BIEC.
b/ DE // BC (theo cách vẽ)
=>  = (hai góc so le trong)
Mà  =  (gt)
Suy ra : =
do đó : ∆ BDI cân tại D
=> DI = DB (1)
Ta có:  =  (so le trong)
=  (gt)
Suy ra :  =  do đó : ∆ CEI cân tại E
=> IE = EC (2)
DE = DI + IE (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra : DE = BD + CE

18. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Ở phía ngoài tam giác ABC, vẽ tam giác BCD vuông cân tại B. Tứ giác ABDC là hình gì? Vì sao?

Giải: Vì ∆ ABC vuông cân tại A nên
Vì ∆ BCD vuông cân tại B nên  = 45°
 -  +  - 45° + 45° = 90⁰
=> AC ⊥ CD
AC ⊥ AB (gt)
Suy ra :
AB // CD. Vậy tứ giác ABDC là hình thang vuông.

19. Hình thang vuông ABCD có Â = = 90°, AB = AD = 2cm,DC = 4cm .
Tính các góc của hình thang.

Giải: Kẻ BH ⊥ CD;
Ta có: AD ⊥ CD (gt)
Suy ra : BH // AD.
Hình thang ABHD có hai cạnh bên song song
nên HD = AB và BH = AD
AB = AD = 2 cm (gt)
=>BH = HD = 2cm
CH = CD -HD = 4 - 2 = 2 (cm)
Suy ra : A BHC vuông cân tại H =>  = 45°
 +  = 180° (2 góc trong cùng phía) =>  = 180° -  = 180°- 45°= 135°


20. Chứng minh rằng tổng hai cạnh bên của hình thang lớn hơn hiệu của hai đáy.

Giải: Giả sử hình thang ABCD có AB // CD và CD > AB Từ B kẻ đường thẳng song song với AD cắt CD tại E.
Hình thang ABED có hai cạnh bên song song
nên AB = ED và AD = BE
Ta có :CD - AB = CD-ED = EC (l)
Trong ∆ BEC ta có :
BE + BC > EC (bất đẳng thức tam giác)
mà BE = AD
Suy ra : AD + BC > EC (2)
Từ (1) và (2) suy ra : AD + BC > CD - AB

21. Trên hình vẽ bên có bao nhiêu hình thang.

Giải: Trên hình vè có tất cả 10 hình thang :
ABCD. ABEF. ABGH, AB1K, DCEF,
DCGH DCIK, FEGH. FE1K, HGIK

B. Giải bài tập bổ sung
2.1. Hình thang ABCD (BC // AD) có   = 3   .Khẳng định nào dưới đây là đúng?
(A)Â = 45°;
(B)   = 45°;
(C)   = 45°;
(D)   = 60°

Giải: Chọn (C)  = 45° Đúng

2.2. Hình thang ABCD (AB // CD) có A -  = 40°, A = 2  .Tính các góc của
hình thang.
Giải: Hình thang ABCD có AB // CD
=> Â +  = 180° (hai góc trong cùng phía bù nhau) Â -  = 40°(gt)
=>2Â=220° => Â= 110°
 =Â - 40°= 110°- 40° = 70°
 = 2   (gt)
=>    =7= 110°: 2 = 55°
 +    = 180° (hai góc trong cùng phía bù nhau)
=>  = 180° -    = 180°- 55° = 125°

2.4. Cho tam giác ABC vuông càn tại A, BC = 2cm. Ở phía ngoài tam giác ABC vẽ tam giác ACE vuông cân tại E.
a/ Chứng minh tứ giác AECB là hình thang vuông.
b/ Tính các góc và các cạnh của hình thang AECB.

a/ ∆ ABC vuông cân tại A
=>  = 45⁰
∆  EAC vuông cân tại E
=>   = 45⁰
Suy ra:
=> AE // BC (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau) nên tứ giác AECB là hình thang có Ê = 90°. Vậy AECB là hình thang vuông.

b/ Ê =  = 90°,  = 45°
 +  = 180° (hai góc trong cùng phía bù nhau)
=>  = 180°-  = 180°- 45°= 135°
∆ ABC vuông tại A. Theo định lý Pi-ta-go ta có :
AB² + AC² = BC², mà AB = AC (gt)
=> 2AB² = BC² = 2² = 4
AB² = 2 => AB = (cm) =>AC =  (cm)
∆  AEC vuông tại E. Theo định lý Pi-ta-go ta có: EA² + EC² = AC², mà EA = EC (gt)
=> 2EA² = AC² = 2 EA² = 1
=> EA = 1 (cm) => EC = 1 (cm)