Giải sách bài tập Toán 8 - Những hằng đẳng thức đáng nhớ

A. Giải bài tập
Tính : a/ ( x + 2y )² ;
b/ ( x - 3y) ( x + 3y) ;
c/ ( 5 - x)²

Giải:
a/ (x + 2y )² = x² + 4xy + 4y²
b/ ( x - 3y) (x + 3y) = x² - (3y)
c/ ( 5 - x)² = 5² - 10x + x² = 25 – l0x + x²

2. Tính: a/ (x - 1)²;
b/ (3-y)² ;
c/

Giải
a) (x - 1)² = x² – 2x + 1;
b/ ( 3 - y )² = 9 - 6y + y²
= x² – x  +

3. Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng:
a/ x² + 6x + 9 ;
b/ x² + x + 4 ;
c/ 2xy² + x²y⁴ + 1

Giải: a/ x² + 6x + 9 = x² + 2x .3 + 32 = ( x + 3)²
b/ x² + x +   = x² +2.x.  + =
c/ 2xy² + x²y⁴ + 1 = ( xy²)² + 2 .xy².1 + 1² = (xy² + 1)²

12. Rút gọn biểu thức :
a/ ( x + y )² + ( x - y )² ;
b/ 2( x - y ) (x + y) + ( x + y )² + (x-y )²
c/(x - y + z)² + (z - y)² + 2(x – y + z)(y - z)

Giải: a/(x + y)² + (x-y)² = x² + 2xy + y² + x² -2xy + y² = 2x² + 2y²
b/ 2(x - y)(x + y) + (x + y)² + (x - y)²
= [(x + y) + ( x - y )]² = (2x)² = 4x²
c/ (x - y + z)² + (z-y)2 + 2(x-y + z)(y-z)
- (x - y + z )² + 2( x - y + z)(y - z ) + (y - z )²
= [( x – y + z) + ( y - z )]² = x²

13. Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng a² chia cho 5 dư 1

Giải: Số tự nhiên a chia 5 dư 4 => a = 5k + 4 (k ∈ N)
Ta có : a² = (5k + 4)² = 25k² + 40k + 16 = 25k + 40k + 15 + 1
= 5 (5k² + 8k + 3) + 1
(5k² + 8k + 3) 1 ⋮ 5. Vậy a² = (5k + 4)² chia cho 5 dư 1

16. Tính giá trị của biểu thức sau :
a/ x² - y² tại x = 87 và y =13 ;
b/ x³ -3x² + 3x- 1 tại x = 101
c/ x³ + 9x² + 27x + 27 tại x = 97

Giải: a/ x² -y² = (x + y) (x -y). Thay x = 87 ; y = 13
Ta có : x² - y² = (x + y) (x - y) = (87 + 13) (87 - 13) = 100.74 = 7400
b/ x³ - 3x² + 3x - 1 = (x - 1)³
Thay x = 101
Ta có : (x - 1 )³ = (101 – 1) = 100³ = 1000000
c/ x³ + 9x² + 27x + 27 = x³ + 3 . x² . 3 + 3 . x  . 3² + 3³ = (x + 3)³
Thay x = 97 ta có :
(x + 3)³ = (97 + 3)³ = 100³ = 1000000

17. Chứng minh rằng :
a/ (a + b) (a² - ab + b²) + (a - b) (a² + ab + b²) = 2a³
b/ (a + b) [(a -b)² + ab] = (a + b) [a² - 2ab + b² + ab] = a³ + b³
c/ (a² + b²)(c² + d²) = (ac + bd)² + (ad - bc)²

Giải: a/ Biến đổi vế trái :
(a + b) (a² - ab + b²) + (a -b) (a² + ab + b²)
= a³ + b³ + a³ - b³ = 2a³
vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng minh.
b/ Biến đổi vế phải :
(a + b) [(a -b)² + ab] = (a + b) [a² -2ab + b² + ab]
= (a + b) (a² - ab + b²) = a³ + b³
vế phải bằng vế trái, đẳng thức được chứng minh.
c/ Biến đổi vế phải:
(ac + bd)² + (ad - bc)² = a²c² + 2abcd + b²d² + a²d² - 2abcd + b²c²
= a²c² + b²d² + a²d² + b²c² = c²(a² + b²) + d²(a² + b²)
= (a² + b²) (c² + d²)
vế phải bằng vế trái, đẳng thức được chứng minh.

18. Chứng tỏ rằng: a/ x² - 6x + 10 > 0 với mọi x ;
b/ 4x - x² - 5 < 0 với mọi x
Giải: a/ x² - 6x + 10 = x² - 2.x.3 + 9 + 1 = (x - 3)² + 1
Ta có : (x -3)² ≥ 0 với mọi x nên (x -3)² + 1 > 0 mọi x
Vậy x² - 6x + 10 > 0 với mọi x.
b/ 4x - x² - 5 = - (x² - 4x + 4) - 1 = - (x - 2)² - 1
Ta có : (x - 2)² ≥ 0 với mọi x => - (x -2)² ≤ 0 mọi x
=> - (x - 2)² - 1 < 0 với mọi x
Vậy 4x - x² - 5 < 0 với mọi x.

19. Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức :
a/ P = x² - 2x + 5 ;
b/ Q = 2x² - 6x ;
c/ M = x² + y² - x + 6y + 10

Giải:
a/ P = x² - 2x + 5 = x² - 2x + 1 + 4 = (x - 1 )² + 4
Ta có : (x - l )² ≥ 0 => (x - l)² + 4 ≥ 4
=> P = x² - 2x + 5 = (x - l)² + 4 ≥ 4
=> P = 4 là giá trị bé nhất => (x - 1 )² = 0 => x = 1
Vậy P = 4 là giá trị bé nhất của đa thức khi x
b/ Q = 2x² - 6x = 2 (x² - 3x) = 2x² = 2

 = 2  = 2
Ta có;   0 => 2 => 2
=> Q =  là giá trị nhỏ nhất =>  => x =
Vậy Q =  là giá trị bé nhất của đa thức x =  
c/ M = x² + y² - x + 6y + 10 = (y² + 6y + 9) + (x² - x + 1)
= (y + 3)² +  = (y + 3)² + +
Ta có : (y + 3)² ≥ 0;  0
=> (y + 3)² +  0 => (y + 3)² + +
=> M =  34 là giá trị nhỏ nhất khi (y + 3)²  = 0
=> y = -3 và  = 0 => x =

20. Tìm giá trị lớn nhất của đa thức:
a/ A = 4x – x² + 3 = 7 – x² + 4x – 4 = 7 – (x² -4x +4) = 7 – (x – 2)²
Ta có: (x – 2)² ≥ 0  Suy ra: A = 7 – (x – 2)² ≤ 7
Vậy giá trị của A lớn nhất là 7 tại x = 2.
b/ B = x – x² =  – x² + x -  =  -  = - 
Vì  0. Suy ra: B =  -  
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là
=> Q = - 2 là giá trị nhò nhất =>  tại x =
c/ N = 2x – 2x² – 5 = -2  = -2
= -2  = -2
Vì  0 nên -2
Suy ra:  N = -2  
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức N là -

B. Giải bài tập bổ sung:
3.1 Cho x² + y² = 26 và xy = 5 giá trị của (x - y)² là:
(A) 4 ;         (B) 16;        (C)21 ;        (D) 36
Giải: Chọn B. 16

3.2 Chọn kết quả đúng của tích (a² + 2a + 4) (a - 2):
(A) (a + 2)³ ;                   (B) (a-2)³ ;           (C) a³ + 8 ;            (D) a³-8
Chọn D. a³ - 8

3.3 Rút gọn các biểu thức :
a/ P = (5x - 1)²+ 2 (1 - 5x)(4 + 5x) + (5x + 4)²
b/ Q = (x - y)³ + (y + x)³ + (y - x)³ -3xy (x + y)
Giải:
a/ P = (5x - 1)² + 2(1 -5x) (4 + 5x) + (5x + 4)²
= (1 - 5x)² + 2(1 - 5x)(5x + 4) + (5x + 4)²
=  =5² = 25
b/ Q = (x - y)³ + (y + x)³ + (y - x)³ - 3xy (x + y)
= x³ - 3x²y + 3xy² - y³ + y³ + 3xy² + 3x²y + x³ + y³ - 3xy² + 3x²y
- x³ - 3x²y - 3xy² = x³ + y³

3.4 Rút gọn biểu thức : P = 12 (5² + 1) (5⁴ + 1) (5⁸ + 1) (5¹⁶ + 1)
Giải: P = (5² + 1)(5⁴ + 1)(5⁸ + 1)(5¹⁶ + 1)
= (5² - l)(5² + 1)(5⁴ + 1)(5⁸ + 1)(5¹⁶+ 1)
= (5⁴ - 1) (5⁴+ 1) (5⁸+ 1) (5¹⁶+ 1)
=  (5⁸ - 1) (5⁸ + 1) (5¹⁶+ 1)
= (5¹⁶ -1) (5¹⁶ + 1) =  (5³² - 1)

5.3 Chứng minh hằng đẳng thức:
(a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ +3(a + b)(b + c)(c + a)
Giải: Biến đổi vế trái :
(a + b + c)³ = [(a + b) + c]³ = (a + b)³ + 3 (a + b)² c + 3 (a + b) c² + c³
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + 3 (a² + 2ab + b²) c + 3ac² + 3bc² + c³
= a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3a²c + 6abc + 3b²c + 3ac² + 3bc²
= a³ + b³ + c³ + 3ab (a + b) + 3ac (a + b) + 3bc (a + b) + 3c² (a + b)
= a³ + b³ + c³ + 3 (a + b) (ab + ac + bc + c²)
= a³ + b³ + c³ + 3 (a + b) [a (b + c) + c (b + c)]
= a³ + b³ + c³ + 3 (a + b) (b + c) (a + c)
vế trái bằng vế phải đẳng thức được chứng minh.