Bài học hay

https://baihochay.com

Học tốt Toán 7, Bài 1: Tập hợp Q các số hữu tỉ

Hệ thống kiến thức lí thuyết cần nhớ, hướng dẫn giải bài tập SGK Toán 7, Bài 1: Tập hợp Q các số hữu tỉ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Số hữu tỉ: Số hữu tỉ là số có thể viết dưới dạng    với a; b ∈ Z và b  0

Tập hợp số hữu tỉ được kí hiệu là Q

2. Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số:  

Mỗi số hữu tỉ được biểu diễn trên trục số. Điểm biểu diễn số hữu tỉ a trên trục số được
gọi là điểm a.

Việc biểu diễn số hữu tỉ trên trục số không phụ thuộc vào cách chọn phân số xác định nó.

3. So sánh các số hữu tỉ: Để so sánh hai số hữu tỉ x, y ta làm như sau:

Viết x, y dưới dạng hai phân số với cùng mẫu dương:
X =    : y =     (m > 0)

So sánh các tử là các số nguyên a và b: Nếu a > b thì x > y
                                                   Nếu a = b thì x = y
                                                   Nếu a < b thì x < y
4. Chú ý:    -Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương
                   -  Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm;
                   - Số 0 không là số hữu tỉ dương, cũng không là số hữu tỉ âm

II. BÀI TẬP:
A. Bài tập mẫu
1. Biểu diễn số hữu tỉ     với a, b   Z; b > 0 trên trục số
2. So sánh các số hữu tỉ x và y với:
a) x = ; y =                    b) x =  ; y =            c) x =  ; y =

Bài giải:

1.Chia đoạn thẳng đơn vị ( đoạn từ điểm 0 đến điểm 1) trên trục số thành b phần đều nhau. Lấy một đoạn làm đơn vị mới thì đoạn đơn vị mới bằng    đơn vị cũ
- Nếu a > 0 thì số  được biểu diễn bởi một điểm nằm bên phải điểm O và cách điểm O một đoạn thẳng a lần đơn vị mới
- Nếu a < 0 thì số  được biểu diễn bởi   1 điểm nằm bên trái điểm O và cách điểm O một đoạn thằng |a| lần đơn vị mới.
2. a) Với x = ; y =     (vì 4 < 7 nên x < y)
b) Với x = ; y =   =     (vì  -7 < -4 nên y < x)
c) Với x = ; y =   =     (vì  4 > 7 nên y > x)

B. Bài tập căn bản
1. Điền kí hiệu (∈, ∌, ⊂) thích hợp vào ô vuông.
-3  N              -3 Z               -3  Q                   Z     
     Q                       N   Q
2. a) Trong các phân số sau, những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ  
   ,  ,   ,   ,   ?
b) Biểu diễn số hữu tỉ   trên trục số

3. So sánh các số hữu tỉ:
a) x = ; y =               b) y =   ; x =       c) x = -0.75;  y =  


4. So sánh số hữu tỉ   (a, b  Z, b > 0) với số 0 khi a, b cùng dấu và khi a, b khác dấu.

5. Giả sử x =  , y =  (a, b, m   Z, m > 0) và x < y. Hãy chứng tỏ rằng nếu chọn z = thì ta có x < z < y.
Hướng dẫn: sử dụng tính chất: Nếu a, b, c Z và a < b thì a + c < b – c. Từ đó suy ra trên trục số, giữa hai điểm hữu tỉ khác nhau bất kỳ bao giờ cũng có ít nhất một điểm hữu tỉ nữa và do đó có vô số điểm hữu tỉ.

Bài giải:
1.Ta có:       3  N                    3 Z
                             Z                         Q
2. a) Ta có:  =  =  = ;  =  =  =
 =  = 
     
  3. a) Với x =  =  và y = =
Ta quy đồng mẫu số: x =  =  và y =  =
Ta có: -22 < -21. Do đó x < y

b) Với x =  và y =  =   =
Ta có:  -216 < -213. Do đó y < x

c) Với x = -0,75
 và y =  = -0,75
Ta có: - 0,75 = -0,75. Do đó y = x

4. Theo đề tài ta có  với a, b  Z, b > 0

a) Khi a và b cùng dấu mà b > 0 thì a > 0. Do đó số hữu tỉ   > 0

b) Khi a và b cùng dấu mà b > 0 thì a < 0. Do đó số hữu tỉ   < 0

5. Ta có: x =  ; y =  (với a, b, m  Z, m > 0)
Và x < y. Do đó a < b, suy ra: am < bm
Ta chứng minh x < z hay  <
Ta có: am < bm       am + am < bm + am (cộng hai vế với am)
                               2am < (a + b)m  a <
                                  <  (Chia 2 vế cho m > 0)
Vậy x < z (1)
Ta chứng minh z < y hay   < 
Ta có: am < bm          am + bm < bm + bm (cộng 2 vế với bm)
                                   (a + b)m < 2bm
                                  a + b < 2b (chia 2 vế cho m)
                                               <    =   (chia 2 vế cho m)
Hay z < y (2)
Từ (1) và (2) suy ra: x < z < y
Nhận xét: Từ kết quả trên ta rút ra kết luận: Trên trục số giữa hai điểm hữu tỉ khác nhau bất kì bao giờ cũng có ít nhất một điểm hữu tỉ nữa và do đó có vô số điểm hữu tỉ. Ta bảo tập hợp Q là tập trù mật