Bài học hay

https://baihochay.com

Học tốt Toán 7, Phần hình học, Ôn tập chương II

Hệ thống kiến thức lí thuyết cần nhớ, hướng dẫn giải bài tập SGK Toán 7, Ôn tập chương II
A. Ví dụ giải toán
Ví dụ. Cho  ABC. Gọi M là trung điếm cạnh BC. Trên tia đối của tia MA lấy điếm D sao cho MD = MA. Từ D vẽ tia Dx vuông góc với BC tại E, trên tia Dx lấy điểm K sao cho E là trung điếm của DK. Chứng minh rằng:
a) AC // BD.
b) MA = MK.
c) AK//BC.

Giải. a) AMC và DMB có:
BM - MC (giả thiết); MA = MD (giả thiết); AMC = BMD (đối đỉnh).
Do đó  AMC =  DMB (c.g.c) nên  =  , mà hai góc ớ vị trí so le trong suy ra AC // BD.
b) MKE và MDEcó:
 =  = 90°; KE = ED (giá thiết); ME là cạnh chung.
Do đó  MKE = A MDE (c.g.c) nên MK = MD.
Mặt khác MA = MD nên MA = MK.
c)  MDK cân nên  =  ;  MAK cán nên  = K2.
 AKD có   +  +  = 180°, hay
 =  +  = 180° => 2. = 180° =>  = 90°
Suy ra AK  KD, do đó AK // BC (cùng vuông góc KD).
Nhận xét. Qua lời giải của bài toán, chúng ta có thêm cách nhận biết tam giác vuông: Trong một tam giác, đường trung tuyến bằng nứa cạnh đối diện thì tam giác đó là tam giác vuông.

B. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa

Bài 67. Câu 1 đúng. Càu 2 đúng.
Câu 3 sai. Chẳng hạn trong tam giác vuông, góc lớn nhất là góc vuông.
Càu 4 sai. Sửa lại cho đúng: Trong một tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.
Câu 5 đúng.
Câu 6 sai. Chẳng hạn có tam giác cân mà góc ở đỉnh bằng 100°.

Bài 68. Các câu a, b được suy ra từ định lí "Tổng ba góc của một tam giác bằng 180°".
Câu c được suy ra từ định lí "Trong tam giác cân, hai góc ớ đáy bằng nhau".

Câu d được suy ra từ định lí "Nếu một tam giác có hai góc băng nhau thì tam giác đó là tam giác cán".

Bài 69. (bạn đọc tự vẽ hình)
ABD = ACD(c.c.c) =>  = .
Gọi H là giao điểm của AD và a. Ta có AHB = AHC(c.g.c),
từ đó chứng minh được AH  a, tức là AD  a.

Bài 70. a) ABC cân  =>  = , =>  =
 ABM =  CAN (c.g.c) suy ra  =  =>  ABN là tam giác cân

b) BHM = CKN (cạnh huyền – góc nhọn) => BH = CK


c) ABH = ACH ( cạnh huyền – cạnh góc vuông)
=> AH = AK

d) BHM = CKN (câu b), suy ra:  =   =>  =  
=>  OBC là tam giác cân.

e) ABC cân có  = 60°nên là tam giác đều suy ra  =  = 60° .
ABM có AB = BM (cùng bằng BC) nên là tam giác cân,
do  = 120° nên M = = 30°.

Tương tự  = 30°.
AMN có  =  = 30° ,  = 120°.
MHB vuông có  = 30° nên  = 60°, suy ra  = 60°, OBC cân (câu d) có  = 60°, nên là tam giác đều
Vậy ABC là tam giác vuông cân.

71.  AHB =  (c.g.c) => AB = CA,  = .
Ta lại có:  +  = 90o nên  +  = 90o
Vậy  ABC là tam giác vuông cân.


Bài 72. Xem hình vẽ.


73.  AHB vuông tại H nên:
HB2 = AB2 - AH2 = 52 -32 = 16; HB = 4m; HC = 10 - 4 = 6 (m).
AHC vuông tại H nên: AC2 = AH2 + HC2 = 32 + 62 = 45 .
Suy ra AC =   6,7(m).
Độ dài đường trượt ACD bằng: 6,7 + 2 = 8,7 (m), chưa bằng hai lần đường lên BA.
Vậy Vân đúng, Mai sai.

C. Bài tập luyện thêm
Cho  ABC có AB < AC và tia phân giác AD (D  BC). Trên AC lấy E sao cho AE = AB. Trên tia AB lấy điểm F sao cho AF = AC.
a) Chứng minh: DB = DE, BF = CE.
b) Chứng minh: F, D, E thẳng hàng.
c) Chứng minh: BE // FC và AD  FC.
d) Chứng minh góc ADC là góc tù.

2. Cho  ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Gọi I là trung điểm đoạn thẳng AM. Trên tia CI lấy điểm N sao cho CN = 2.CI.
a) Chứng minh AN // BC.
b) Trên tia BI lấy điểm K sao cho BK = 2.BI. Chứng minh A là trung điểm của NK.

3. Cho  ABC có A = 90° ; B = 50° . Tia phân giác của góc B cắt AC ở D.
a) Tính số đo góc BDC ?
b) Lấy điểm H trên tia BC sao cho BH = BA.
Chứng minh BDH = BDA.
c) Lấy điểm E trên tia BH sao cho  = 50°.
Chứng minh: AE // DH.

4. Cho  ABC có BC = 2.AB. Gọi M là trung điểm của BC và D là trung điểm của BM. Chứng minh AC = 2.AD.

Lời giải - Hướng dẫn - Đáp số
a) Xét  ABD và  AED có:
AB = AE (giả thiết);
Â1 = Â2 (giả thiết);
AD là cạnh chung.
Do đó  ABD =  AED (c.g.g) nên BD = ED.
Ta có AF = AC, AB = AE => BF = CE.

b)  ABD =  AED (chứng minh trên) nên = => = .
Xét  BDF và  EDC có: BD = ED; ; BF = EC.
Do đó  BDF =  EDC (c.g.c) nên = . .
Mặt khác  + . = 180°, suy ra  + , =180° hay F, D, E thẳng hàng.

c) Gọi giao điểm của đường thẳng AD và CF là I.
Xét  AFI và  ACI có: AF = AC; Â1 = Â2 ; AI chung,
do đó  AIF =  AIC (c.g.c) nên  =  , mà  + = 180°
suy ra  =  = 90° => AI  CF .
Chứng minh tưomg tự AD  BE, do đó BE// FC.
d) AB = AE, AB < AC nên AE < AC => E nằm giữa A và C.
Suy ra   <  mặc khác   =   =>   <
  +  = 180o =>  > 90°.

2. a) Xét  AIN và  MIC có:
AI = IM (giả thiết);
= .  (đối đỉnh);
IC = IN (giả thiết).
Do đó AIN =  MIC (c.g.c), do đó = , mà hai góc ở vị trí so le trong, vậy AN // BC.

b) Chứng minh tương tự  AIK = MIB (c.g.c)
=> AK = BM và AK // BC. Mà AN // BC nên N, A, K thẳng hàng.
Mặt khác AN = MC (vì  AIN =  MIC), AK = BM và MC = BM (giả thiết)
nên suy ra AN = AK. Vậy A là trung điểm của NK.

3. a)  ABC có Â = 90o; =50o nên = 40o
=  =  = 25o (vì BD là tia phân giác của góc B)
Xét  BDC có = +  = 180o
=> 25o + 40o +  = 180o => 115o.
b)  BAD =  BHD (c.g.c).
c)  BAD =  BHD nên  =  =>   = 90o => BC  DH.
Xét  ACE có  +  = 50o + 40o = 90o nên  ACE vuông tại E => AE  BC. Suy ra DH // AE (vì cùng vuông góc BC).


4. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = DA.
Dễ có ADB = EDM (c.g.c) nên AB = ME.  =  .
Suy ra ME = AB = MC = BC.

Mặt khác  =  +
 =  +  (góc ngoài tam giác)
 =  (ABM cân)
Từ đó suy ra  =  .
Do đó AME = AMC (c.g.c) => AC = AE = 2.AD.

Nhận xét. Về mặt phương pháp rất tự nhiên, muốn chứng minh đoạn thẳng AC = 2.AD, ta cần tạo ra một đoạn thẳng bằng 2.AD sau đó chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.

 