Bài học hay

https://baihochay.com

Giải sách bài tập Toán 8 - Hình bình hành

Hướng dẫn giải chi tiết bài tập trong sách bài tập Toán 8, tập 1, Phần II. Hình học, Chương I. Tứ giác. §7. Hình bình hành

A. Giải bài tập sách bài tập
73. Gác tứ giác ABCD, EFGH ở hình vẽ bên có phải là hình bình hành hay không?

Giải: Tứ giác ABCD là hình bình hành vì có cạnh đổi AD // BC và AD = BC bằng 3 cạnh ô vuông.
Tứ giác EFGH là hình bình thành vì có các cạnh đối bằng nhau.
EH = FG là đường chéo hình chữ nhật có cạnh 1 ô vuông và cạnh 3 ô vuông.
EF = HG là đường chéo hình chữ nhật có cạnh 1 ô vuông và cạnh 3 ô vuông.

74. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AB, F là trung điểm của CD. Chứng minh rằng DE = BF.

Giải: Ta có: AB = CD (tính chất hình bình hành)
EB =  AB (gt)
FD =  CD (gt)
Suy ra: EB = FD (1)
Mà AB // CD (gt)
=> BE // FD
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BEDF là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đôi song song và bằng nhau)
=> DE = BF (tính chất hình bình hành)

75. Cho hình bình hành ABCD. Tia phân giác của góc A cắt CD ở M. Tia phân giác của góc C cắt AB ở N. Chứng minh rằng AMCN là hình bình hành.


Giải: Ta có: Â =  (tính chất hình bình hành)
Â2 = Â (gt)
C=  (gt)
Suy ra : Â2 =
AB // CD (gt)
hay AN//CM (1)
 =  (so le trong)
Suy ra :  =
=> AM // CN (vì có cặp góc ở vị trí đồng vị bằng nhau) (2)
Từ (1) và (2) suy ra : Tứ giác AMCN là hình bình hành (theo định nghĩa)

76. Hình bên cho ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng AECF là hình
bình hành.


Giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD
OA = OC (tính chất hình bình hành) (1)
Xét hai tam giác vuông AEO và CFO,
ta có:  =  = 90°
OA = OC (chứng minh trên)
 =  (đối đỉnh)
Do đó  AEO =  CFO (cạnh huyền, góc nhọn)
=> OE = OF (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AECF là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).

77. Tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

Giải: Nối đường chéo AC.
Trong  ABC ta có :
E là trung điểm của AB (gt)
F là trung điểm của BC (gt) 
nên EF là đường trung binh của  ABC
=> EF // AC và EF =  AC (tính chất đường trung bình tam giác) (1)
Trong  ADC ta có :
H là trung điểm của AD (gt)
G là trung điểm của EC (gt)
nên HG là đường trung bình của  ADC
=> HG // AC và FG = AC (tính chất đường trung bình tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra : EF // HG và EF = HG
Vậy tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

78. Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của CD, AB. Đường chéo BD cắt AI, CK theo thứ tự ở E, F. Chứng minh rằng DE = EF = FB. Giải: Ta có: AB = CD (tính chất hình bình hành)


Giải: Ta có AB = CD (tính chất hình bình hành)
AK = AB (gt)
CI =  CD (gt)
Suy ra: AK = CI (1)
Mặt khác: AB // CD (gt)
=> AK // CI (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AKCI là hình binh hành (vì có một cặp cạnh đôi song song và bằng nhau).
=> AI // CK
Trong  ABE ta có:
K là trung điểm của AB (gt)
AI // CK hay KF // AE Nên BF = EF (tính chất đường trung bình tam giác)
Trong  DCF ta có:
I là trung điểm của DC (gt)
AI // CK hay IE // CF nên DE = EF (tính chất đường trung bình tam giác)
Suy ra : DE = EF = FB

79. Tính các góc của hình bình hành ABCD biết:
a/ Â = 110°
b/ Â - B = 20° 

Giải: Vì tứ giác ABCD là hình bình hành.
=>  = Â = 110° (tính chất hình bình hành)
 +  = 180° (2 góc trong cùng phía bù nhau)
=>  = 180° - Â = 180° - 110° = 70°
 =  = 70° (tính chất hình bình hành)

b/ Tứ giác ABCD là hình bình hành.
=> Â +  = 180° (2 góc trong cùng phía bù nhau)
 -  = 20° (gt)
Suy ra : 2Â =200° => Â = 100°
 = Â = 100° (tính chất hình bình hành)
 = Â - 20°= 100° - 20° = 80°
 =  = 80° (tính chất hình bình hành)

80. Trong các tứ giác ở hình dưới đây, hình nào là hình bình hành. 


Giải:
Tứ giác ABCD là hình bình hành vì AB // BC và AD = BC
Tứ giác IKMN là hình bình hành vì có  =  = 700
 =  = 1100

81. Chu vi hình bình hành ABCD bằng 10cm, chu vi tam giác ABD bằng 9cm. Tính độ dài BD.


Giải: Chu vi hình bình hành ABCD bằng 10 cm
Nên (AB + AD).2 = 10 (cm)
=> AB + AD =  = 5 (cm)
Chu vi ABD bằng:
AB + AD + BD = 9 (cm)
=> BD = 9 – (AB + AD) = 9 – 5 = 4 (cm)

82. Hình bên, cho ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng AE // CF


Giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD. ta có:
Xét  AEB và  CFD:
AB = CD (tính chất hình bình hành)
ABE = CDF (so le trong)
BE = DF (gt)
Do đó :  AEB =  CFD (c.g.c)
=> BE = DF
Ta có: OB = OE + BE
OD = OF + DF
Suy ra: OE = OF
Suy ra: Tứ giác AECF là hình bình hành (vi có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) => AE // CF

83. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng:
a/ EMNF là hình bình hành.
b/ Các đường thẳng AC, EF, MN đồng quy.


Giải: a/ Xét tứ giác AECF, ta có:
AB // CD (gt)
Hay AE // CF
AE =  AB (gt)
CF =  CD
AB = CD (tính chất hình bình hành)
Suy ra: AE = CF
Tứ giác AECF là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau) => AF // CE hay EN // FM (1)
Xét tứ giác BFDE ta có:
AB//CD (gt) hay BE//DF
BE = AB (gt)
DF = CD (gt)
AB = CD (tính chất hình bình hành) 
Suy ra : BE = DF
Tứ giác BFDE là hình bình hành (vi có cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
=> BF // DE hay EM // FN (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EMFN là hình bình hành (theo định nghĩa)

b/ Gọi O là giao điểm của AC và EF
Tứ giác AECF là hình bình hành => OE = OF
Tứ giác EMFN là hình bỉnh hành trên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Suy ra : MN đi qua trung điểm O của EF.
Vậy AC, EF, MN đồng quy tại O.

84. Hình bên cho ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng:
a/ EGFH là hình bình hành.
b/ Các đường thẳng AC. BD, EF, GH đồng quy.


Giải: a/ Xét  AEH và  CFG:
AE = CF (gt)
 =  (tính chất hình bình hành)
AH = CG (vì AD = BC và DH = BG)
Do đó : AEH = CFG (c.g.c)
=> EH = FG
Xét   BEG và   DFH :
DH = BG (gt)
 =  (tính chất hình bình hành)
BE = DF (vì AB = CD và AE = CF)
Do đó :  BEG =  DFH (c.g.c) => EG = FH
Suy ra: Tứ giác EGFH là hình binh hành (vì có các cặp cạnh đối bằng nhau)

b/ Gọi O là giao điểm của AC và EF.
Xét tứ giác AECF :
AB // CD (gt) hay AE // CF
AE = CF (gt)
Suy ra: Tứ giác AECF là hình bình hành (vì có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
=> O là trung điểm của AC và EF
Tứ giác ABCD là hình bình hành có O là trung điểm AC nên O cũng là trung điểm của BD.
Tứ giác EGFH là hình bình hành có O là trung điểm của EF nên O cũng là trung điểm của GH.
Vậy AC, BD, EF, GH đồng quy tại O. 

85. Cho hình bình hành ABCD. Qua C kẻ đường thẳng xy chì có một điểm chung C với hình bình hành. Gọi AA', BB’, DD’ là các đường vuông góc kẻ từ A, B, D đến đường thẳng xy. Chứng minh rằng AA' = BB' + DD'.


Giải: Gọi O là giao điểm của hai dường chéo AC và BD.
Kẻ OO’  xy
Ta có : BB'  xy (gt)
DD'  xy (gt)
Suy ra: BB’ //  OO’ // DD'
Tứ giác BB'D'D là hình thang
OB = OD (tính chất hình bình hành)
nên O'B’ = O'D' do đó OO' là đường trung bình của hình thang BB'D'D
=> OO’ =  (tính chất đường trung bình hình thang) (1)
AA'  xy (gt)
OO'  xy (theo cách vẽ)
Suy ra : AA' // OO’
Trong  ACA' ta có: OA = OC (tính chất hình bình hành)
OO' // AA' nên OO' là đường trung bình của  ACA'
=> OO” =  AA’ (tính chất đường trung bình của tam giác)
=> AA' = 2OO' (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AA' = BB' + DD'

86. Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng xy không có điểm chung với hình bình hành. Gọi AA', BB', CC', DD' là các đường vuông góc kẻ từ A, B, C, D đến đường thẳng xy. Tìm mối liên hệ độ dài giữa AA', BB', CC', DD'.


Giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD
=> OA = OE, OB = OD (tính chất hình bình hành)
Kẻ OO'  xy
AA'  xy (gt)
CC'  xy (gt)
Suy ra: AA’ // OO’ // CC'
Tứ giác ACC’A' là hình thang
có: OA = OC (chứng minh trên)
OO' // AA' nên OO' lả đường trung bình của hình thang ACC'A'.
=> OO’ = AA'+ CC'2 9tính chất đường trung bình của hình thang) (1)
BB’  xy (gt)
DD’  xy (gt)
OO’  xy (theo cách vẽ)
Suy ra : BB' // OO' // DD'
Tứ giác BDD'B' là hình thang có : OB = OD (chứng minh trên)
OO' // BB' nên OO' là đường trung bình của hình thang BDD'B'
=> OO' =   (tính chất đường trung bình của hỉnh thang) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AA' + CC' = BB’ + DD'

87. Cho hình binh hành ABCD có A = a > 90°. Ở phía ngoài hình bình hành vẽ các tam giác đều ADF, ABE.
a/ Tính góc 
b/ Chứng minh rằng tam giác CEF là tam giác đều.

Giải:
a/ Vì  +  +  +  = 360° => = 360°
=>  = 3600 - ( +   + )
 mà  = 0 (gt)
 = 60° ( BAE đều)
 = 60° ( FAD đều)
nên
= 360° - ( + 60° + 60°) = 240° -

b/ Ta có:  +  = 180°
(hai góc trong cùng phía bù nhau)
=>  = 180° -   = 180° -
 =  +  = 180°-  + 60° = 240 -
Suy ra :  =
Xét  AEF và  DCF :
AF = DF (vì  ADF đều)
AE = DC (vì cùng bằng AB)
 =  (chứng minh trên)
Do đó  AEF -  DCF (c.g.c) EF = CF (1)
 =  (tính chất hình bình hành)
 =  + 60° =  + 60° = 180°-  + 60° = 240°-
Xét  BCE và  DCF :
BE = CD (vì cùng băng AB)
CBE = CDF = 240°-
BC = DF (vì cùng bằng AD)
Do đó  BCE =  DFC (c.g.c) => CE = CF (2)
Từ (1) và (2) suy ra : EF = CF = CE. Vậy   ECF đều.

88. Cho tam giác ABC. Ở phía ngoài tam giác vẽ các tam giác vuông cân tại A là ABD, ACE .Vẽ hình bình hành ADIE. Chứng minh rằng:
a/ IA = BC
b/ IA  BC


Giải:  +  +  +  = 360°
 = 900,  = 900 (gt)
Suy ra:  +   = 1800 (1)
AE // DI (gt)
=>  +  = 1800
(2 góc trong cùng phía) (2)
Từ (1) và (2) suy ra :  =
Xét  ABC và  DAI :
AB = AD (gt)
 = (chứng minh trên)
AC = DI (vì cùng bằng AE)
Do đó  ABC =  DAI (c.g.c)
=> IA = BC

b/  ABC =  DAI (chứng minh trên) => Â1 =  
Gọi giao điểm IA và BC là H.
Ta có : Â1 +  + Â2 = 180° (kề bù)
  = 90° (gt) => Â1 + Â2 = 90° (4)
Từ (3) và (4) suy ra :  + Â2 = 90°
Trong  AHB ta có:  +  + Â2 = 180°
Suy ra  = 90° => AH  BC hay IA  BC

89. Dựng hình bình hành ABCD biết:
a/ AB =2cm, AD = 3cm, Â = 110°,
b/ AC = 4cm, BD = 5cm ,  = 50°
Giải: Cách dựng:
- Dựng ABD có AB = 2 cm, Â = 110°. AD = 3 cm
- Dựng tia Bx // AD
- Dựng tia Dy // AB cắt Bx tại C ta có hình bình hành ABCD cần dựng

Chứng minh: AB // CD, AD // BC nên tứ giác ABCD là hình bình hành.
Ta lại có AB = 2 cm, Â = 110°, AD = 3 cm. Bài toán có một nghiệm hình.



b/ Cách dựng:
- Dựng  OBC có OC = 2 cm, OB = 2,5 cm, Ô = 50°
- Trên tia đối tia OC lấy điểm A sao cho OA = OC = 2 cm
- Trên tia đối tia OB lấy điểm D sao cho OD = OB = 2,5 cm
Nối AB, BC, CD, AD ta có hình bình hành ABCD cần dựng

Chứng minh: Tứ giác ABCD có OA = OC, OB = OD nên nó là hình bình hành vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Có AC = 4 cm, BD = 5 cm,  = 50°
Bài toán có một nghiệm hình.


90. Cho ba điểm A, B, C trên giấy kẻ ô vuông ở hình bên. Hãy vẽ điểm thứ tư M sao cho A, B, C, M là 4 đỉnh của một hình bình hành.


Giải:
- Nếu hình bình hành nhận AC làm đường chéo vì AB là đường chéo hình vuông có cạnh là 2 ô vuông nên CM1 là đường chéo hình vuông cạnh 2 ô vuông và A, M1 nằm trên một nửa mặt phăng bờ BC ta có hình bình hành ABCM1
- Nếu hình bình hành nhận BC làm đường chéo, điểm A cách điểm C ba ô vuông, điểm B cách điểm M2 là ba ô vuông và C, M2 cũng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ AB ta có hình bình hành ABM2C.
- Nếu hình bình hành nhận AB làm đường chéo thi điểm M3 cách điểm B ba ô vuông, M3 và A nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ BC ta có hình bình hành ACBM3.  

91. Cho tam giác ABC. Dựng đường thẳng song song với BC. Cắt cạnh AB ở E, cắt cạnh AC ở F sao cho BE = AF

Cách dựng :
- Dựng đường phân giác AD.
- Qua D dựng đường thẳng song song AB cắt AC tại F.
- Qua F dựng đường thăng song song với BC cãt AB tại E.
Ta có điểm E, F cần dựng.

Chứng minh: DF // AB
=> Â1 =  (so le trong)
Â1 = Â2 (gt)
Suy ra :  = Â2
=>  AFD cân tại F
=>AF = DF (1)
DF // AB hay DF // BE EF // BC hay EF // ED
Từ giác BDFE là hình binh hành BE = DF (2)
Từ (1) và (2) suy ra : AF = BE

B. Giải bài tập bổ sung
7.1. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu :
(A)AB = CD ;
(C)AB//CD và AD = BC;
(B)AD = BC ;
(D)AB = CD và AD = BC
Hãy chọn phương án đúng.

Giải: Chọn (D) đúng

7.2. Cho hình bình hành ABCD, các đường chéo cắt nhau tại o. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của OD, OB. Gọi K là giao điểm của AE và CD.
a/AE // CF
b/DK =  KC


Giải: a/ Ta có: OB = OD (tính chất hình bình hành)
OE = OD (gt)
OF = OB (gt)
Suy ra : OE = 0F
Xét tứ giác AECF, ta có:
OE = OF (chứng minh trên)
OA = OC (vì ABCD là hình bình hành)
Suy ra: Tứ giác AECF là hình binh hành (vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) => AE // CF

b/ Kẻ OM // AK
Trong  CAK ta có :
OA = OC (chứng minh trên)
OM // AK (theo cách vẽ)
=> CM = MK (tính chất đường trung bỉnh của tam giác) (1)
Trong  DMO ta có :
DE = EO(gt)
EK // OM
=> DK = K.M (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)
 Từ (1) và (2) suy ra : DK = K.M = MC => DK=  KC

7.3. Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm E trên cạnh AB, điểm F trên cạnh CD sao cho AE = CF. Chứng minh ba đường thẳng AC, BD, EF đồng quy.

Giải: Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Xét tứ giác AECF :
AB//CD (gt)
=> AE // CF
AE = CF(gt)
Suy ra : Tứ giác AECF tà hình bình hành
(vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
=> AC và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
OA = OC (tính chất hình bình hành) => EF đi qua O
Vậy AC. BD, EF đồng quy tại O


 