Bài học hay

https://baihochay.com

Giải sách bài tập Toán 8 - Hình thang cân

Hướng dẫn giải chi tiết bài tập trong sách bài tập Toán 8, tập 1, Phần II. Hình học, Chương I. Tứ giác. §3. Hình thang cân
 
A. Giải bài tập
22. Hình thang cân ABCD có AB // CD, AB < CD. Kẻ các đường cao AH, BK.
Chứng minh rằng DH = CK

Giải: Xét hai tam giác vuông AHD và BKC :
 =  = 90°
AD = BC (tính chất hình thang cân)
 =  (gt)
Do đó:  AHD = BKC
(cạnh huyền, góc nhọn)
=> HD = KC

23. Hình thang cân ABCD có AB // CD, o là giao điểm của hai đường chéo.
Chứng minh rằng OA = OB, OC = OD.

Giải: Xét  ADC và  BCD, ta có:
AD = BC (tính chất hình thang cân)
 =  (gt)
DC cạnh chung
Do đó :  ADC =  BCD (c.g.c)
=> =
Trong  OCD ta có :=
=>  OCD cân tại O
=> OC = OD (1)
AC = BD (tính chất hình thang cân)
=> AO + OC = BO + OD (2)
Từ (1) và (2) suy ra : AO = BO

24. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB, AC lấy các điểm M,N sao cho BM = CN.
a/ Tứ giác BMNC là hình gì ? vì sao?
b/ Tính các góc của tứ giác BMNC biết rằng góc  = 40° .



Giải: a/  ABC cân tại A.
=>  =  =  (tính chất tam giác cân)
AB = AC (gt)
=> AM + BM = AN + CN
=> mà BM = CN (gt)
=> Suy ra : AM = AN
=>  AMN cân tại Â
=> = =
(tính chất tam giác cân) (2)
=> Từ (1) và (2) suy ra :  =
=> MN // BC (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)
Tử giác BCNM là hình thang có  = . Vậy BCNM là hình thang cân.

b/  =  =  =  = 700
 +  = 180° (2 góc trong cùng phía)
=>  = 180°-  = 180°-70°= 110°
 =  =110° (tính chất hình thang cân) 

25. Xem bài 16 (sgk)

26. Chứng minh hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Giải:
Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng DC tại K.
Ta có hình thang ABKC có hai cạnh bên BK // AC nên AC = BK
Mà AC = BD (gt)
Suy ra: BD = BK do đó  BDK cân tại B
=>   =   (tính chất tam giác cân)
Ta lại có:   =   (hai góc đồng vị)
Suy ra :     =  
Xét  ACD và  BDC:
AC = BD (gt)
 =  (chứng minh trên)
CD cạnh chung
Do đó:  ACD =  BDC (c.g.c) =>  =
Hình thang ABCD có  =  nên là hình thang cân.

27. Tính các góc của hình thang cân, biết một góc bằng 50°.
Giải: Giả sử hình thang cân ABCD có AB // CD và   = 50°
  =   (tính chất hình thang cân)
=>  = 50°
 +  = 180° (hai góc trong cùng phía) =>  = 180°-  = 180°-50°= 130°
 = Â (tính chất hình thang cân) =>  = 130°

28. Hình thang ABCD có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên AD. Chứng minh rằng CA là tia phân giác của góc C.

Giải: AB = AD (gt);
AD = BC (tính chất hình thang cân)
=> AB = BC do đó  ABC cân tại B
 =>  =  (tính chất tam giác cân)
Mặt khác: AB // CD (gt)
 =  (hai góc so le trong)
Suy ra:   =  
Vậy CA là tia phân giác của  . 

29. Hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại O. Biết rằng OA = OC. OB = OD. Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao?

Giải: Ta có: OA = OC (gt)
=>  OAC cân tại O
=>  =    (tính chất tam giác cân) (1)
OB = OD (gt)
=>  OBD cân tai O
=> =  (tính chất tam giác cân) (2)
AOC = BOD (đối đình) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra :  =
=> AC // BD (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)
Suy ra : Tứ giác ACBD là hình thang
Ta có: AB = OA + OB
CD = OC + OD
Mà OA = OC, OB = OD
Suy ra AB = CD
Vậy hình thang ACBD là hình thang cân.

30. Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB điểm E trên cạnh AC sao cho AD = AE
a/ Tứ giác BDEC là hình gì? Vì sao?
b/ Các điểm D, E ở vị trí nào thì BD = DE = EC?
Giải:
a/ AD =  AE (gt)
=>  ADE cân tại A
=>  =   
 ABC cân tại A
=>  =   
Suy ra :  =
=> DE // BC (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)
Tứ giác BDEC là hình thang
 =  (tính chất tam giác cân)
hay = . Vậy BDEC là hình thang cân. 

b/ Ta có: BD = DE =>  BDE cân tại D
=>  =
 =   (so le trong)
=>  =  
DE = EC => A DEC cân tại E
=>   =  
 =   (so le trong)
=>   =  
Vậy khi BE là tia phân giác của , CD là tia phân giác của  thì BD = DE = EC.

31. Hình thang cân ABCD có O là giao điểm của hai đường thẳng chứa cạnh bên AD, BC và E là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng OE là đường trung trực của hai đáy.

Giải:  =  (gt)
=>  =
=>  OCD cân tại O
=> OC = OD
=> OA + AD = OB + BC
mà AD = BC (tính chất hình thang cân)
=> OA = OB
Xét    ADC và    BCD :
AD = BC (chứng minh trên)
AC = BD (tính chất hình thang cân)
CD cạnh chung
Do đó :    ADC =    BCD (c.c.c)
 =>   =  
=>  EDC cân tại E
=> EC = ED nên E thuộc đường trung trực CD
OC = OD nên o thuộc đường trung trực CD
E O. Vậy OE là đường trung trực của CD.
BD = AC (chứng minh trên)
=> EB + ED = EA + EC mà ED = EC
=> EB = EA nên E thuộc đường trung trực AB OA = OB nên O thuộc đường trung trực của AB
E  O. Vậy OE là đường trung trực của AB.

32.
a/ Hình thang ABCD có đáy nhỏ AB = b, đáy lớn CD = a. đường cao AH.
Chứng minh rằng HA = a, HC =  (a, b có cùng đơn vị đo)
b/ Tính đường cao của hình thang cân có hai đáy 10cm, 26cm và cạnh bên 17cm

Giải: Kẻ đường cao BK
Xét hai tam giác vuông AHD và BKC, ta có
 =  = 900
AD = BC (Tính chất hình thang cân)
 =  (gt)
Do đó:  AHD = (Cạnh huyền, góc nhọn)
=> HD = KC
Hình thang ABKH có hai cạnh bên song song nên AB = HK
a- b = DC – AB =  DC – HK = HD + KC = 2HD
=> HD =  
HC =  DC – HD = a -  =

b/ HD =   =  = 8 (cm)
Trong tam giác vuông AHD có  = 90°
AD2 = AH2 + HD2 (định lý Pi-ta-go)
=> AH2 = AD2 - HD2
AH2= 172 -82 = 289 - 64 = 225
AH= 15 (cm)

33. Hình thang cân ABCD có đường chéo BD vuông góc với cạnh bên BC,BD là tia phân giác của góc D. Tính chu vi của hình thang, biết BC = 3cm.

Giải: Ta có: AD = BC = 3 (cm) (tính chất hình thang cân)
 =  (so le trong)
 =  (gt)
=>  =
=> ABD cân tại A
=> AB = AD = 3 (cm)
 BDC vuông tại B
=> +  = 90°
=  (gt)
 =   nên  =   
 +    = 90° =>  = 60°
Từ B kẻ đường thẳng song song AD cắt CD tại E.
Hình thang ABED có hai cạnh bên song song nên AB = DE và AD = BE
=> DE = 3 (cm), BE = 3 (cm)
=  (đồng vị)
Suy ra :  =
=>  BEC cân tại B có  = 60°
=>  BEC đều
=> EC = BC = 3 (cm)
CD = CE + ED = 3 + 3 = 6 (cm)
Chu vi hình thang ABCD bằng :
AB + BC + CD + DA = 3 + 3 + 6 + 3 = 15 (cm)

BÀI TẬP BỔ SUNG
3.1 Hình thang cân ABCD (AB //CD) có Â = 70°
Khẳng định nào sau đây là đúng?
(A) =110°;
(B)  = 110°;
(C)  = 700
(D)  = 700
Chọn(A)  = 110° Đúng

3.2 Hình thang cân ABCD (AB //CD) có hai đường chéo cắt nhau tại I, hai đường thẳng chứa các cạnh bên cắt nhau ở K. Chứng minh KI là đường trung trực của hai đáy.
Xem bài 31.

3.3 Hình thang cân ABCD (AB //CD) có  = 60°. DB là tia phân giác của góc D. Tính các cạnh của hình thang, biết chu vi hình thang bằng 20cm.


Giải: Hình thang ABCD cân có AB // CD
=>   =   = 60°
DB là tia phân giác của D 
=>  =
ABD = BDC (hai góc so le trong)
Suy ra :  =
=>  ABD cân tại A => AB = AD (1)
Từ B kẻ đường thăng song song với AD cắt CD tại E
Hình thang ABED có hai cạnh bên song song nên AB = ED. AD = BE (2)
 =  (đồng vị)
Suy ra : =  = 60°
=>  BEC đều => EC = BC (3)
AD = BC (tính chất hình thang cân) (4)
Từ (1), (2), (3) và (4)=> AB = BC = AD = ED = EC
=> Chu vi hình thang bằng :
AB + BC + CD +AD - AB + BC + EC + ED + AD = 5AB
=> AB = BC = AD = 20 : 5 = 4 (cm)
CD = CE + DE = 2 AB = 2.4 = 8 (cm)

  