Bài học hay

https://baihochay.com

Giải sách bài tập Toán 8 - Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Hướng dẫn giải chi tiết bài tập trong sách bài tập Toán 8, tập 1, Phần I. Đại số, Chương I. Phép nhân và phép chia các đa thức. §3,4,5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ
A. Giải bài tập
Tính : a/ ( x + 2y )2 ;
b/ ( x - 3y) ( x + 3y) ;
c/ ( 5 - x)2

Giải:
a/ (x + 2y )2 = x2 + 4xy + 4y2
b/ ( x - 3y) (x + 3y) = x2 - (3y)
c/ ( 5 - x)2 = 52 - 10x + x2 = 25 – l0x + x2

2. Tính: a/ (x - 1)2;
b/ (3-y)2 ;
c/

Giải
a) (x - 1)2 = x2 – 2x + 1;
b/ ( 3 - y )2 = 9 - 6y + y2
= x2 – x  +

3. Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng:
a/ x2 + 6x + 9 ;
b/ x2 + x + 4 ;
c/ 2xy2 + x2y4 + 1

Giải: a/ x2 + 6x + 9 = x2 + 2x .3 + 32 = ( x + 3)2
b/ x2 + x +   = x2 +2.x.  + =
c/ 2xy2 + x2y4 + 1 = ( xy2)2 + 2 .xy2.1 + 12 = (xy2 + 1)2

12. Rút gọn biểu thức :
a/ ( x + y )2 + ( x - y )2 ;
b/ 2( x - y ) (x + y) + ( x + y )2 + (x-y )2
c/(x - y + z)2 + (z - y)2 + 2(x – y + z)(y - z)

Giải: a/(x + y)2 + (x-y)2 = x2 + 2xy + y2 + x2 -2xy + y2 = 2x2 + 2y2
b/ 2(x - y)(x + y) + (x + y)2 + (x - y)2
= [(x + y) + ( x - y )]2 = (2x)2 = 4x2
c/ (x - y + z)2 + (z-y)2 + 2(x-y + z)(y-z)
- (x - y + z )2 + 2( x - y + z)(y - z ) + (y - z )2
= [( x – y + z) + ( y - z )]2 = x2

13. Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng a2 chia cho 5 dư 1

Giải: Số tự nhiên a chia 5 dư 4 => a = 5k + 4 (k  N)
Ta có : a2 = (5k + 4)2 = 25k2 + 40k + 16 = 25k + 40k + 15 + 1
= 5 (5k2 + 8k + 3) + 1
(5k2 + 8k + 3) 1  5. Vậy a2 = (5k + 4)2 chia cho 5 dư 1

16. Tính giá trị của biểu thức sau :
a/ x2 - y2 tại x = 87 và y =13 ;
b/ x3 -3x2 + 3x- 1 tại x = 101
c/ x3 + 9x2 + 27x + 27 tại x = 97

Giải: a/ x2 -y2 = (x + y) (x -y). Thay x = 87 ; y = 13
Ta có : x2 - y2 = (x + y) (x - y) = (87 + 13) (87 - 13) = 100.74 = 7400
b/ x3 - 3x2 + 3x - 1 = (x - 1)3
Thay x = 101
Ta có : (x - 1 )3 = (101 – 1) = 1003 = 1000000
c/ x3 + 9x2 + 27x + 27 = x3 + 3 . x2 . 3 + 3 . x  . 32 + 33 = (x + 3)3
Thay x = 97 ta có :
(x + 3)3 = (97 + 3)3 = 1003 = 1000000

17. Chứng minh rằng :
a/ (a + b) (a2 - ab + b2) + (a - b) (a2 + ab + b2) = 2a3
b/ (a + b) [(a -b)2 + ab] = (a + b) [a2 - 2ab + b2 + ab] = a3 + b3
c/ (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad - bc)2

Giải: a/ Biến đổi vế trái :
(a + b) (a2 - ab + b2) + (a -b) (a2 + ab + b2)
= a3 + b3 + a3 - b3 = 2a3
vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng minh.
b/ Biến đổi vế phải :
(a + b) [(a -b)2 + ab] = (a + b) [a2 -2ab + b2 + ab]
= (a + b) (a2 - ab + b2) = a3 + b3
vế phải bằng vế trái, đẳng thức được chứng minh.
c/ Biến đổi vế phải:
(ac + bd)2 + (ad - bc)2 = a2c2 + 2abcd + b2d2 + a2d2 - 2abcd + b2c2
= a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2 = c2(a2 + b2) + d2(a2 + b2)
= (a2 + b2) (c2 + d2)
vế phải bằng vế trái, đẳng thức được chứng minh.

18. Chứng tỏ rằng: a/ x2 - 6x + 10 > 0 với mọi x ;
b/ 4x - x2 - 5 < 0 với mọi x
Giải: a/ x2 - 6x + 10 = x2 - 2.x.3 + 9 + 1 = (x - 3)2 + 1
Ta có : (x -3)2  0 với mọi x nên (x -3)2 + 1 > 0 mọi x
Vậy x2 - 6x + 10 > 0 với mọi x.
b/ 4x - x2 - 5 = - (x2 - 4x + 4) - 1 = - (x - 2)2 - 1
Ta có : (x - 2)2  0 với mọi x => - (x -2)2  0 mọi x
=> - (x - 2)2 - 1 < 0 với mọi x
Vậy 4x - x2 - 5 < 0 với mọi x.

19. Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức :
a/ P = x2 - 2x + 5 ;
b/ Q = 2x2 - 6x ;
c/ M = x2 + y2 - x + 6y + 10

Giải:
a/ P = x2 - 2x + 5 = x2 - 2x + 1 + 4 = (x - 1 )2 + 4
Ta có : (x - l )2  0 => (x - l)2 + 4 4
=> P = x2 - 2x + 5 = (x - l)2 + 4  4
=> P = 4 là giá trị bé nhất => (x - 1 )2 = 0 => x = 1
Vậy P = 4 là giá trị bé nhất của đa thức khi x
b/ Q = 2x2 - 6x = 2 (x2 - 3x) = 2x2 = 2

 = 2  = 2
Ta có;   0 => 2 => 2
=> Q =  là giá trị nhỏ nhất =>  => x =
Vậy Q =  là giá trị bé nhất của đa thức x =  
c/ M = x2 + y2 - x + 6y + 10 = (y2 + 6y + 9) + (x2 - x + 1)
= (y + 3)2 +  = (y + 3)2 + +
Ta có : (y + 3)2  0;  0
=> (y + 3)2 +  0 => (y + 3)2 + +
=> M =  34 là giá trị nhỏ nhất khi (y + 3)2  = 0
=> y = -3 và  = 0 => x =

20. Tìm giá trị lớn nhất của đa thức:
a/ A = 4x – x2 + 3 = 7 – x2 + 4x – 4 = 7 – (x2 -4x +4) = 7 – (x – 2)2
Ta có: (x – 2)2 ≥ 0  Suy ra: A = 7 – (x – 2)2 ≤ 7
Vậy giá trị của A lớn nhất là 7 tại x = 2.
b/ B = x – x2 =  – x2 + x -  =  -  = - 
 0. Suy ra: B =  -  
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là
=> Q = - 2 là giá trị nhò nhất =>  tại x =
c/ N = 2x – 2x2 – 5 = -2  = -2
= -2  = -2
 0 nên -2
Suy ra:  N = -2  
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức N là -

B. Giải bài tập bổ sung:
3.1 Cho x2 + y2 = 26 và xy = 5 giá trị của (x - y)2 là:
(A) 4 ;         (B) 16;        (C)21 ;        (D) 36
Giải: Chọn B. 16

3.2 Chọn kết quả đúng của tích (a2 + 2a + 4) (a - 2):
(A) (a + 2)3 ;                   (B) (a-2)3 ;           (C) a3 + 8 ;            (D) a3-8
Chọn D. a3 - 8

3.3 Rút gọn các biểu thức :
a/ P = (5x - 1)2+ 2 (1 - 5x)(4 + 5x) + (5x + 4)2
b/ Q = (x - y)3 + (y + x)3 + (y - x)3 -3xy (x + y)
Giải:
a/ P = (5x - 1)2 + 2(1 -5x) (4 + 5x) + (5x + 4)2
= (1 - 5x)2 + 2(1 - 5x)(5x + 4) + (5x + 4)2
=  =52 = 25
b/ Q = (x - y)3 + (y + x)3 + (y - x)3 - 3xy (x + y)
= x3 - 3x2y + 3xy2 - y3 + y3 + 3xy2 + 3x2y + x3 + y3 - 3xy2 + 3x2y
- x3 - 3x2y - 3xy2 = x3 + y3

3.4 Rút gọn biểu thức : P = 12 (52 + 1) (54 + 1) (58 + 1) (516 + 1)
Giải: P = (52 + 1)(54 + 1)(58 + 1)(516 + 1)
= (52 - l)(52 + 1)(54 + 1)(58 + 1)(516+ 1)
= (54 - 1) (54+ 1) (58+ 1) (516+ 1)
=  (58 - 1) (58 + 1) (516+ 1)
= (516 -1) (516 + 1) =  (532 - 1)

5.3 Chứng minh hằng đẳng thức:
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 +3(a + b)(b + c)(c + a)
Giải: Biến đổi vế trái :
(a + b + c)3 = [(a + b) + c]3 = (a + b)3 + 3 (a + b)2 c + 3 (a + b) c2 + c3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + 3 (a2 + 2ab + b2) c + 3ac2 + 3bc2 + c3
= a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3a2c + 6abc + 3b2c + 3ac2 + 3bc2
= a3 + b3 + c3 + 3ab (a + b) + 3ac (a + b) + 3bc (a + b) + 3c2 (a + b)
= a3 + b3 + c3 + 3 (a + b) (ab + ac + bc + c2)
= a3 + b3 + c3 + 3 (a + b) [a (b + c) + c (b + c)]
= a3 + b3 + c3 + 3 (a + b) (b + c) (a + c)
vế trái bằng vế phải đẳng thức được chứng minh.
 
Bạn đã không sử dụng Site, Bấm vào đây để duy trì trạng thái đăng nhập. Thời gian chờ: 60 giây