Giải sách bài tập Toán 8 - Hình thoi

A. Giải bài tập sách bài tập
132. Chứng minh rằng trung điểm bốn cạnh của một hình chữ nhật là một hình thoi.


Giải: Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA của hình chữ nhật ABCD.
Kẻ đường chéo AC.
Trong  ABC ta có:
E là trung điểm của AB
F là trung điểm của BC
nên EF là đường trung bình của  ABC
=> EF // AC và EF =  AC (tính chất đường trung bình của tam giác) (1) 
Trong  ADC ta có:
H là trung điểm AD
G là trung điểm DC
nên HG là đường trung bình của  ADC.
=> HG // AC và HG =   AC (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra : EF // HG và EF = HG
Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).
Xét  AEH vả  DGH:
AH = HD (gt)
 = = 90°
AE = DG (vì AB = CD)
Do đó  AEH =  DGH (c.g.c) => HE = HG
Vậy hình bình hành EFGH là hình thoi (vì có 2 cạnh kề bằng nhau)

133. Chứng minh rằng trung điểm các cạnh của một hình thoi là đỉnh của một hình chữ nhật.


Giải: Giả sử hình thoi ABCD. Gọi E, F, G. H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.
- Trong  ABC ta có : E là trung điểm của AB
F là trung điểm của BC nên EF là đường trung bình của  ABC
=> EF // AC và EF =  AC (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)
- Trong  ADC ta có:
H là trung điếm của AD
G là trung điểm của CD
nên HG là đường trung bình của  ADC
=> HG // AC và HG =  AC (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra : EF // HG và EF = HG
Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
Mặt khác: AC  BD (tính chất hình thoi)
EF // AC (chứng minh trên)
Suy ra: EF  BD 
Trong  ABD ta có EH là đường trung bình
=> EH // BD (tính chất đường trung bình của tam giác)
Suy ra : EH  EF hay  = 1V
Vậy hình binh hành EFGH là hình chữ nhật.

134. Chứng minh ràng trong hình thoi:
a/ Giao điểm của hai đường chéo là tâm đổi xứng cúa hình thoi.
b/ Hai đường chéo là hai trục đối xứng của hình thoi.

Giải: Hình bình hành có tâm đối xứng là giao điểm cúa hai đường chéo. Hình thoi cũng là một hình bình hành nên cũng có tâm đổi xứng là giao điểm hai đường chéo của nó.

b/ Ta có: AC  BD (tính chất hình thoi)
OB = OD (tính chất hình thoi)
nên AC là đường trung trực của BD.
Do đó điểm đối xứng với điểm B qua AC là điểm D
Điểm đối xứng với điểm A qua AC là điểm A
Điểm đối xứng với điểm C qua AC là điểm C
Vậy điểm đối xứng với mỗi đỉnh của hình thoi qua AC cũng thuộc hình thoi.
Do đó AC là trục đối xứng của hình thoi ABCD.
OC = OA (tính chất hình thoi)
nên BD là đường trung trực của AC
Do đó điểm đối xứng với điểm A qua BD là điểm C
Điểm đối xứng với điểm B qua BD là điểm B
Điểm đối xứng với điểm D qua BD là điểm D
Vậy điểm đổi xứng với mỗi đinh của hình thoi qua BD cũng thuộc hình thoi. Do đó BD là trục đối xứng của hình thoi ABCD.

135. Tứ giác ABCD có tọa độ các đỉnh như sau
A (0 ; 2); B (3 ; 0); c (0 ; -2); D (-3 ; 0).
Tứ giác ABCD là hình gì? Tính chu vi của tứ giác đó.


Giải:
A (0 ; 2) và c (0 ; - 2) nên hai điểm A và C đối xứng qua O (0 ; 0) OA = OC
B (3 ; 0) và D (- 3 ; 0) nên hai điểm B và D đối xứng qua O (0 ; 0) => OB = OD
Tứ giác ABCD là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) 
Ox  Oy hay AC  BD
Vậy tứ giác ABCD là hình thoi
Trong  OAB vuông tại O. Theo định lý Pi-ta-go ta có:
AB² = OA² + OB²
AB² = 2² + 3² = 4 + 9 = 13
AB =
Chu vi của hình thoi bằng 4

136. a/ Cho hình thoi ABCD. kẻ đường cao AH, AK. Chứng minh rằng AH = AK.
b/ Hình bình hành ABCD có hai đường cao AH, AK bằng nhau. Chứng minh rằng ABCD là hình thoi.


Giải: a/ Xét hai tam giác vuông AHB và AKD:
AHB = AKD = 90°
AB = AD (gt)
 =  (tính chất hình thoi)  
Do đó:  AHB =  AKD (cạnh huyền, góc nhọn)
=> AH = AK

b/ Xét hai tam giác vuông AHC và AKC:
  =   = 90⁰
AH = AK (gt)
AC cạnh huyền chung
Do đó: ∆ AHC= ∆ AKC  (cạnh huyền, góc nhọn)
=>  =  hay  =
=> CA là tia phân giác
Hình bình hành ABCD có đường chéo CA là đường phân giác nên là hình thoi

137. Hình thoi ABCD có Â = 60⁰. Kẻ hai đường cao BE, BF. Tam giác BEF là tam giác gì? Vì sao?

Giải: Xét hai tam giác vuông BEA và BFC:
 =  = 90⁰
 = (tính chất hình thoi)
BA = BC (gt)
Do đó: BEA = BFC (cạnh huyền, góc nhọn)
=> BE = BF
=> ∆ BEF cân tại B
=> =
=> Trong tam giác vuông BEA ta có:
=> Â +  = 90° =>  =90° - Â = 90° - 60° = 30°
=>  =  =30°
=> Â +  = 180° (hai góc trong cùng phía bù nhau)
=>  = 180° - Â = 180° - 60°= 120°
=>  =
=>  =   - ()= 120° - (30°+ 30°) = 60°. Vậy ∆ BEF đều.

138. Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ O đến AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
 

Giải: Ta có AB // CD (gt)
OH  AB (gt)
=> OE  CD
OG  CD (gt)

Suy ra : OE trùng với OG nên ba điểm O, E, G thẳng hàng.
BC // AD (gt)
OF // BC (gt)
=> OF  AD
OH  AD (gt)

Suy ra: OF trùng với OH nên ba điểm O, H, F thẳng hàng
AC và BD là đường phân giác các góc của hình thoi
OE = OF (tính chất tia phân giác) (1)
OE = OH (tính chất tia phân giác) (2)
OH = OG (tính chất tia phân giác) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: OE = OF = OH = OG
Tứ giác EFGH có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình chứ nhật.

139. Hình thoi ABCD có chu vi bằng 16cm, đường cao AH = 2cm. Tính các góc của hình thoi, biết  >
Chứng minh: Chu vi hình thoi bằng 16 (m) nên độ dài một cạnh băng 16 : 4 = 4 (cm) 
Gọi M là trung điểm của AD.

Trong tam giác vuông AHD ta có HM là trung tuyến thuộc cạnh huyền.
HM = AM =  AD =  . 4 = 2 (cm)
=> AM = HM = AM = 2 cm
=>  AHM đều
=>  = 60° hay  = 60°
Trong tam giác vuông AHD ta có:  +  = 90°
=>  = 90° -  = 90° - 60° = 30°
=>  =  = 30° (tính chất hình thoi)
 +  = 180° (hai góc trong cùng phía bù nhau)
=>  = 180° -  = 180° - 30°= 150°
=> Â =  = 150° (tính chất hình thoi)

140. Hình thoi ABCD có Â = 60°. Trên cạnh AD lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N sao cho AM = DN. Tam giác BMN là tam giác gì? Vì sao?


Giải: Nối BD. ta có
AB = AD (gt)
nên  ABD cân tại A
Mà Â = 60°
=>  ABD đều
=>  =  = 60° và BD = AB
Suy ra : BD = BC = CD
=>  CBD đều
=>  = 60°
Xét  BAM và  BDN:
AB = BD (chứng minh trên)
 =  = 60°
AM = DN
Do đó  BAM =  BDN (c.g.c)
=>  = và BM = BN
Suy ra  BMN cân tại B
 +  =  = 60°
Suy ra :  +  =  = 60°
Vậy  BMN đều

141. Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E theo thứ tự trên cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi M, N, I, K theo thứ tự là trung điểm của BE, CD, DE, BC. Chứng minh rằng IK vuông góc với MN.


Giải: Trong A BCD ta có :
K. là trung điểm của BC (gt)
N là trung điểm của CD (gt)
nên NK. là đường trung bình của A BCD

=> NK//BD và NK =  BD (1)
Trong A BED ta có :
M là trung điểm của BE (gt)
I là trung điểm của DE (gt)
nên MI là đường trung bình của  BED

=>MI // BD và MI =  BD (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)
Từ (l) và (2) suy ra : MI // NK và MI = NK
nên tứ giác MKNI là hình bình hành.
Trong  BEC ta có MK là đường trung bình

=> MK =  CE (tính chất đường trung bình của tam giác)
BD = CE (gt)
Suy ra : MK = KN
Vậy hình bình hành MKNI là hình thoi.
=> IK  MN (tính chất hình thoi)

142. Cho hình bình hành ABCD, các đường chéo cắt nhau ở O. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là giao điểm của các đường phân giác của các tam giác AOB, BOC, COD, DOA. Chứng minh rằng EFGH là hình thoi.


Giải: Ta có: AOB = COD (đối đỉnh)
 =   (gt)
 =    (gt)

Suy ra :  =
+  +  = 2 +
mà  +  = 180° (kề bù)
hay 2  +  = 180°

Suy ra : H, O, F thẳng hàng
 =  (so le trong)
 =   (gt)
 =    (gt)

Suy ra :  =
Xét  BFO và  DHO:
 =  (chứng minh trên)
OD = OB (tính chất hình bình hành)
 = (đối đỉnh)

Do đó :  BFO =  DHO (g.c.g)
=> OF = OH
 =  (so le trong)
 =   (gt)
 =  (gt)

Suy ra :  =
Xét  OAE và  OCG :
 =  (chứng minh trên)
OA = OC (tính chất hình bình hành)
 =  (đối đỉnh)
Do đó :  OAE =  OCG (g.c.g)
=> OE = OG 

Suy ra : Tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
OE  OF (tính chất hai góc kề bù)
hay EG FH
Vậy : Tứ giác EFGH là hình thoi.

143. Dựng hình thoi ABCD biết cạnh bằng 2cm, một đường chéo bằng 3cm.


Giải:
- Dựng  ABD biết AB = AD = 2 (cm), BD = 3 cm
- Trên nửa mặt phẳng bờ BD không chứa điểm A. Từ B dựng tia Bx // AD, từ D dựng tia Dy // AB, chúng cắt nhau tại C.
Ta có hình thoi ABCD cần dựng

Chứng minh:
Vi AB // CD và AD // BC nên tứ giác ABCD là hình bình hành
AB = AD = 2 cm. Vậy tứ giác ABCD là hình thoi
Lại có: BD = 3 cm
Hình thoi dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.

B. Giải bài tập bổ sung
11.1. Cạnh của một hình thoi bằng 25, một đường chéo bằng 14 đường chéo kia
bằng: 
(A) 24;
(B)48;
(C) ;
(D) Một đáp số khác.
Hãy chọn phương án đúng.
Chọn (B) 48 Đúng

11.2. Cho hình thang cân ABCD có AB // CD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì?


Giải: Trong  ABD ta có:
E trung điểm của AB (gt)
H trung điểm của AD (gt)
nên EH là đường trung bình của  ABD

=> EH//BD và EH= BD (tính chất đường trung bình của tam giác)
- Trong  CBD ta có:
F là trung điểm của BC (gt)
G là trung điểm của CD (gt)
nên FG là đường trung bình của  CBD
=> FG // BD và FG =  BD (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra : EH // FG và EH = FG

Suy ra : Tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
Trong  ABC ta có EF là đường trung bình
=> EF =  AC (tính chất đường trung bình của tam giác) (3)
AC = BD (tính chất hình thang cân) (4)
Từ (1), (3) và (4) suy ra : EH = EF
Vậy : Tứ giác EFGH là hình thoi.

11.3. Cho tam giác ABC. Điểm D thuộc cạnh BC. Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB ở I. Qua D kẻ đường thằng song song với AB cắt AC ở K.
a/ Tứ giác AIDK là hình gì?
b/ Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì AIDK là hình thoi.


Giải: a/ Ta có: DK // AB (gt) hay DK // AI
DI // AC (gt)
Hay DI // AK
Vậy: Tứ giác AIDK là hình bình hành

b/ Để hình bình hành AIDK là hình thoi.
=> AD là đường phân giác
Hay AD là đường phân giác
Ngược lại nếu AD là tia phân giác của
Ta có tứ giác AIDK là hình bình hành có dường chéo AD là phân giác của góc A nên tứ giác AIDK là hình thoi.
Vậy hình bình hành AIDK là hình thoi khi và chì khi D là giao điểm tia phân giác của  và cạnh BC.